Les bissectrices de 2 angles adjacents supplémentaires forment entre elles un angle dro démontrer. Et généraliser cette propriété pour 2 angles adjacents quelconques. Les triangles \( \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} \) sont isocèles et ont une base commune CD . Montrer que les ang \( \mathrm{CAD}, \mathrm{CBD} \) admettent pour bissectrice la droite AB . On donne un carré ABCD ; on mène les diagonales et de chaque sommet comme centre, décrit un arc de cercle passant par le point de rencontre O des diagonales et limité aux cô du carré ; on détermine ainsi sur les côtés du carré 8 points \( \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{K}, \mathrm{L}, \mathrm{M} \). Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier b) Trouver l'aire tot des figures suivantes \( \mathrm{AEOM}, \mathrm{FBGO}, \mathrm{HCIO} \) et KDLO. Dans un triangle ABC , on trace les 3 hauteurs AD , BE , CF. Du point E , on abaisse perpendiculaires sur les côtés et sur les hauteurs. Démontrer que les 4 pieds de perpendiculaires sont colinéaires. Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Pour résoudre ce problème, nous allons aborder chaque partie étape par étape. ### 1. Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires **Propriété à démontrer :** Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires forment un angle droit. **Démonstration :** Soit les angles \( \angle A \) et \( \angle B \) tels que \( \angle A + \angle B = 180^\circ \). Les bissectrices de ces angles sont les droites qui divisent chaque angle en deux parties égales. - Soit \( D \) la bissectrice de \( \angle A \) et \( E \) la bissectrice de \( \angle B \). - Par définition, \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A \) et \( \angle CBE = \frac{1}{2} \angle B \). - En ajoutant ces deux équations, nous avons : \[ \angle CAD + \angle CBE = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ \] - Ainsi, les bissectrices \( D \) et \( E \) forment un angle droit. **Généralisation :** Pour deux angles adjacents \( \angle A \) et \( \angle B \) (sans condition de somme), les bissectrices forment un angle dont la mesure est la moitié de la somme des angles adjacents. ### 2. Triangles isocèles CAD et CBD **Propriété à démontrer :** Les triangles \( \mathrm{CAD} \) et \( \mathrm{CBD} \) sont isocèles et ont une base commune \( CD \). Montrer que les angles \( \angle CAD \) et \( \angle CBD \) admettent pour bissectrice la droite \( AB \). **Démonstration :** - Puisque \( \triangle CAD \) et \( \triangle CBD \) sont isocèles, nous avons \( AC = AD \) et \( BC = BD \). - Les angles à la base de ces triangles sont égaux, donc \( \angle ACD = \angle ADC \) et \( \angle BCD = \angle BDC \). - La bissectrice d'un angle isocèle passe par le sommet et divise l'angle en deux parties égales. Ainsi, la droite \( AB \) est la bissectrice des angles \( \angle CAD \) et \( \angle CBD \). ### 3. Octogone régulier EFGHIKLM **Démonstration :** - Dans le carré \( ABCD \), les diagonales se croisent en \( O \). - Les arcs de cercle décrits à partir de chaque sommet passent par \( O \) et touchent les côtés du carré. - Les points \( E, F, G, H, I, K, L, M \) sont équidistants des sommets du carré, formant ainsi un octogone régulier. ### 4. Aire des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO Pour calculer l'aire de chaque figure, nous devons connaître les dimensions des triangles formés. Supposons que chaque triangle est équilatéral et que les côtés sont de longueur \( a \). - L'aire d'un triangle équilatéral est donnée par la formule : \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] - Ainsi, l'aire totale des figures \( AEOM, FBGO, HCIO, KDLO \) est : \[ A_{total} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2 \] ### 5. Colinéarité des pieds de perpendiculaires **Démonstration :** - Les pieds de perpendiculaires des hauteurs \( D, E, F \) sur les côtés \( BC, CA, AB \) sont colinéaires car ils se trouvent sur la même ligne, qui est la ligne de l'orthocentre du triangle \( ABC \). ### 6. Lieu géométrique des points Le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère trois tangentes formant un trièdre trirectangle est le **cercle de centre le centre de la sphère et de rayon égal à la distance du centre de la sphère à l'un des points de tangence**. Ces démonstrations et calculs montrent les propriétés géométriques et les relations entre les figures mentionnées dans le problème.