Ex. 1 กำหนด \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) และ \( \vec{v} \) เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากับ \( \overrightarrow{0} \) และไม่ขนานกัน หาค่าของ \( \mathrm{a}+\mathrm{b} \) ที่ทำให้ \( (3 a+b-1) \overrightarrow{\mathrm{u}}+(2 a-4 b-5) \overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{0} \)

เรามาเริ่มกันที่สมการที่กำหนดไว้: \[ (3a + b - 1) \overrightarrow{\mathrm{u}} + (2a - 4b - 5) \overrightarrow{\mathrm{v}} = \overrightarrow{0} \] เนื่องจาก \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) และ \( \vec{v} \) ไม่เท่ากับ \( \overrightarrow{0} \) และไม่ขนานกัน สิ่งที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงได้คือแต่ละพจน์ต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ เราจึงได้สองสมการ: 1. \( 3a + b - 1 = 0 \) 2. \( 2a - 4b - 5 = 0 \) จากสมการแรก เราสามารถเขียน \( b \) เป็น: \[ b = 1 - 3a \] นำค่า \( b \) ที่ได้ไปแทนในสมการที่สอง: \[ 2a - 4(1 - 3a) - 5 = 0 \] ทำการแก้สมการไปเรื่อย ๆ: \[ 2a - 4 + 12a - 5 = 0 \] \[ 14a - 9 = 0 \] \[ 14a = 9 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{9}{14} \] นำค่า \( a \) ที่ได้ไปหาค่า \( b \): \[ b = 1 - 3\left(\frac{9}{14}\right) = 1 - \frac{27}{14} = \frac{14}{14} - \frac{27}{14} = -\frac{13}{14} \] สุดท้าย ให้นำค่า \( a \) และ \( b \) มาหาค่า \( a + b \): \[ a + b = \frac{9}{14} - \frac{13}{14} = \frac{9 - 13}{14} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7} \] ดังนั้น ค่าของ \( a + b \) คือ \( -\frac{2}{7} \)