Ex. 1 กำหนด \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) และ \( \vec{v} \) เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากับ \( \overrightarrow{0} \) และไม่ขนานกัน หาค่าของ \( \mathrm{a}+\mathrm{b} \) ที่ทำให้ \( (3 a+b-1) \overrightarrow{\mathrm{u}}+(2 a-4 b-5) \overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{0} \)

\[ \textbf{โจทย์:}\quad (3a+b-1) \overrightarrow{\mathrm{u}}+(2a-4b-5) \overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{0} \] เนื่องจาก \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) และ \( \overrightarrow{\mathrm{v}} \) ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์และไม่ขนานกัน จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น สักนั้นเราจึงได้ว่า \[ \begin{cases} 3a+b-1=0 \quad\quad (1)\\[6mm] 2a-4b-5=0 \quad (2) \end{cases} \] \[ \textbf{ขั้นที่ 1: แก้สมการ (1)} \] จากสมการ (1) เราสามารถเขียนใหม่ได้ว่า \[ b=1-3a \] \[ \textbf{ขั้นที่ 2: แทนค่า \(b\) จากสมการ (1) ลงในสมการ (2)} \] แทนค่า \(b=1-3a\) ลงในสมการ (2): \[ 2a-4(1-3a)-5=0 \] \[ 2a-4+12a-5=0 \] \[ 14a-9=0 \] \[ \textbf{ขั้นที่ 3: แก้สมการหา \(a\)} \] \[ 14a=9 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{9}{14} \] \[ \textbf{ขั้นที่ 4: คำนวณค่า \(b\)} \] แทนค่า \(a=\frac{9}{14}\) ลงใน \(b=1-3a\): \[ b=1-3\left(\frac{9}{14}\right)=1-\frac{27}{14}=\frac{14}{14}-\frac{27}{14}=-\frac{13}{14} \] \[ \textbf{ขั้นที่ 5: คำนวณ \(a+b\)} \] \[ a+b=\frac{9}{14} + \left(-\frac{13}{14}\right)=\frac{9-13}{14}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7} \] \[ \boxed{-\frac{2}{7}} \]