Question
tenemos, así que solo queda resolver \( \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} d x \) Integral de \( \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} d x \) Para este término, notamos que cuando integramos \( \frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} \) (donde \( \left.u=x-3\right) \), podemos usar el resultado: \( \int \frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} d u=-\sqrt{a^{2}-u^{2}} \) \( \int \)
Ask by Ayala Mcguire. in Puerto Rico
Feb 25,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
La integral \( \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} dx \) se resuelve reemplazando \( u = x - 3 \), lo que da \( \int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}} du = -\sqrt{9 - u^{2}} + C \). Retrocediendo el cambio, la solución es \( -\sqrt{9 - (x - 3)^{2}} + C \).
Solution
Vamos a realizar el cambio de variable:
u = x – 3 ⇒ du = dx
Con este cambio, la integral se transforma en:
∫ (x – 3)/√(9 – (x – 3)²) dx = ∫ u/√(9 – u²) du
Recordamos que existe el resultado conocido:
∫ u/√(a² – u²) du = –√(a² – u²) + C
Aquí, a² = 9 y, por tanto, a = 3. Aplicando este resultado tenemos:
∫ u/√(9 – u²) du = –√(9 – u²) + C
Finalmente, retrocedemos el cambio de variable (reemplazando u por x – 3):
∫ (x – 3)/√(9 – (x – 3)²) dx = –√(9 – (x – 3)²) + C
Este es el resultado final de la integral.
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Para resolver la integral \( \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} d x \), primero hacemos el cambio de variable \( u = x - 3 \), lo que nos lleva a \( du = dx \). Así la integral se convierte en \( \int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}} du \). Utilizamos el resultado mencionado y llegamos a \( -\sqrt{9 - u^2} + C \), que es igual a \( -\sqrt{9 - (x - 3)^2} + C \). Ahora, un truco genial: al analizar esta integral, notamos que es muy parecido a representar una función de arco, por lo que podríamos considerar alternativas trigonométricas para integraciones más complejas. ¡Las identidades trigonométricas pueden transformar una simple integral en una aventura emocionante!
