tenemos, así que solo queda resolver $$ \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} d x $$ Integral de $$ \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} d x $$ Para este término, notamos que cuando integramos $$ \frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} $$ (donde $$ \left.u=x-3\right) $$, podemos usar el resultado: $$ \int \frac{u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} d u=-\sqrt{a^{2}-u^{2}} $$ $$ \int $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a realizar el cambio de variable:

u = x – 3  ⇒ du = dx

Con este cambio, la integral se transforma en:

∫ (x – 3)/√(9 – (x – 3)²) dx = ∫ u/√(9 – u²) du

Recordamos que existe el resultado conocido:

∫ u/√(a² – u²) du = –√(a² – u²) + C

Aquí, a² = 9 y, por tanto, a = 3. Aplicando este resultado tenemos:

∫ u/√(9 – u²) du = –√(9 – u²) + C

Finalmente, retrocedemos el cambio de variable (reemplazando u por x – 3):

∫ (x – 3)/√(9 – (x – 3)²) dx = –√(9 – (x – 3)²) + C

Este es el resultado final de la integral.
La integral $$ \int \frac{x-3}{\sqrt{9-(x-3)^{2}}} dx $$ se resuelve reemplazando $$ u = x - 3 $$, lo que da $$ \int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}} du = -\sqrt{9 - u^{2}} + C $$. Retrocediendo el cambio, la solución es $$ -\sqrt{9 - (x - 3)^{2}} + C $$.

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