e. Al seguir la trayectoria de un cuerpo que posee M.A.S. se observan y consignan los siguientes datos: cuando la elongación es 8 cm su velocidad es de - 2em/s y cuando la elongación es 6 cm , lávelocid̄ad que se mide es de - $$ 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$. Basado en estos datos calcula periodo y amplitud del movimiento.

Question

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Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones conocidas:

1. Cuando la elongación $$ x_1 = 8 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m} $$, la velocidad $$ v_1 = -2 \, \text{m/s} $$.
2. Cuando la elongación $$ x_2 = 6 \, \text{cm} = 0.06 \, \text{m} $$, la velocidad $$ v_2 = -4 \, \text{m/s} $$.

El movimiento armónico simple (M.A.S.) se describe mediante las siguientes ecuaciones:

- La posición en función del tiempo: 
  $$
  x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
  $$
- La velocidad en función del tiempo:
  $$
  v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)
  $$

Donde:
- $$ A $$ es la amplitud,
- $$ \omega $$ es la frecuencia angular,
- $$ \phi $$ es la fase inicial.

### Paso 1: Relación entre posición y velocidad

Sabemos que la velocidad se puede expresar en términos de la posición y la frecuencia angular:
$$
v = -\omega \sqrt{A^2 - x^2}
$$

Usando los datos proporcionados, podemos establecer dos ecuaciones:

1. Para $$ x_1 = 0.08 \, \text{m} $$ y $$ v_1 = -2 \, \text{m/s} $$:
   $$
   -2 = -\omega \sqrt{A^2 - (0.08)^2}
   $$
   Esto se puede reescribir como:
   $$
   2 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0064}
   $$

2. Para $$ x_2 = 0.06 \, \text{m} $$ y $$ v_2 = -4 \, \text{m/s} $$:
   $$
   -4 = -\omega \sqrt{A^2 - (0.06)^2}
   $$
   Esto se puede reescribir como:
   $$
   4 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0036}
   $$

### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones:

1. $$ 2 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0064} $$  (Ecuación 1)
2. $$ 4 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0036} $$  (Ecuación 2)

Despejamos $$ \omega $$ de ambas ecuaciones:

De la Ecuación 1:
$$
\omega = \frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}}
$$

De la Ecuación 2:
$$
\omega = \frac{4}{\sqrt{A^2 - 0.0036}}
$$

Igualamos ambas expresiones para $$ \omega $$:
$$
\frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}} = \frac{4}{\sqrt{A^2 - 0.0036}}
$$

### Paso 3: Resolver la ecuación

Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces:
$$
\frac{4}{A^2 - 0.0064} = \frac{16}{A^2 - 0.0036}
$$

Multiplicamos en cruz:
$$
4(A^2 - 0.0036) = 16(A^2 - 0.0064)
$$

Desarrollamos:
$$
4A^2 - 0.0144 = 16A^2 - 0.1024
$$

Reorganizamos:
$$
0 = 12A^2 - 0.088
$$

Despejamos $$ A^2 $$:
$$
12A^2 = 0.088 \implies A^2 = \frac{0.088}{12} \implies A^2 = 0.0073333
$$

Por lo tanto:
$$
A = \sqrt{0.0073333} \approx 0.0857 \, \text{m} \approx 8.57 \, \text{cm}
$$

### Paso 4: Calcular el periodo

La frecuencia angular $$ \omega $$ se puede calcular usando cualquiera de las ecuaciones. Usamos la Ecuación 1:
$$
\omega = \frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}} = \frac{2}{\sqrt{0.0073333 - 0.0064}} = \frac{2}{\sqrt{0.0009333}} \approx \frac{2}{0.0306} \approx 65.36 \, \text{rad/s}
$$

El periodo $$ T $$ se relaciona con $$ \omega $$ de la siguiente manera:
$$
T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2\pi}{65.36} \approx 0.096 \, \text{s}
$$

### Resumen de resultados

- Amplitud $$ A \approx 8.57 \, \text{cm} $$
- Periodo $$ T \approx 0.096 \, \text{s} $$

Estos son los resultados finales del movimiento armónico simple basado en los datos proporcionados.
Amplitud: aproximadamente 8.57 cm Periodo: aproximadamente 0.096 segundos

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