e. Al seguir la trayectoria de un cuerpo que posee M.A.S. se observan y consignan los siguientes datos: cuando la elongación es 8 cm su velocidad es de - 2em/s y cuando la elongación es 6 cm , lávelocid̄ad que se mide es de - \( 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). Basado en estos datos calcula periodo y amplitud del movimiento.

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones conocidas: 1. Cuando la elongación \( x_1 = 8 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m} \), la velocidad \( v_1 = -2 \, \text{m/s} \). 2. Cuando la elongación \( x_2 = 6 \, \text{cm} = 0.06 \, \text{m} \), la velocidad \( v_2 = -4 \, \text{m/s} \). El movimiento armónico simple (M.A.S.) se describe mediante las siguientes ecuaciones: - La posición en función del tiempo: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] - La velocidad en función del tiempo: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] Donde: - \( A \) es la amplitud, - \( \omega \) es la frecuencia angular, - \( \phi \) es la fase inicial. ### Paso 1: Relación entre posición y velocidad Sabemos que la velocidad se puede expresar en términos de la posición y la frecuencia angular: \[ v = -\omega \sqrt{A^2 - x^2} \] Usando los datos proporcionados, podemos establecer dos ecuaciones: 1. Para \( x_1 = 0.08 \, \text{m} \) y \( v_1 = -2 \, \text{m/s} \): \[ -2 = -\omega \sqrt{A^2 - (0.08)^2} \] Esto se puede reescribir como: \[ 2 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0064} \] 2. Para \( x_2 = 0.06 \, \text{m} \) y \( v_2 = -4 \, \text{m/s} \): \[ -4 = -\omega \sqrt{A^2 - (0.06)^2} \] Esto se puede reescribir como: \[ 4 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0036} \] ### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones: 1. \( 2 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0064} \) (Ecuación 1) 2. \( 4 = \omega \sqrt{A^2 - 0.0036} \) (Ecuación 2) Despejamos \( \omega \) de ambas ecuaciones: De la Ecuación 1: \[ \omega = \frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}} \] De la Ecuación 2: \[ \omega = \frac{4}{\sqrt{A^2 - 0.0036}} \] Igualamos ambas expresiones para \( \omega \): \[ \frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}} = \frac{4}{\sqrt{A^2 - 0.0036}} \] ### Paso 3: Resolver la ecuación Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces: \[ \frac{4}{A^2 - 0.0064} = \frac{16}{A^2 - 0.0036} \] Multiplicamos en cruz: \[ 4(A^2 - 0.0036) = 16(A^2 - 0.0064) \] Desarrollamos: \[ 4A^2 - 0.0144 = 16A^2 - 0.1024 \] Reorganizamos: \[ 0 = 12A^2 - 0.088 \] Despejamos \( A^2 \): \[ 12A^2 = 0.088 \implies A^2 = \frac{0.088}{12} \implies A^2 = 0.0073333 \] Por lo tanto: \[ A = \sqrt{0.0073333} \approx 0.0857 \, \text{m} \approx 8.57 \, \text{cm} \] ### Paso 4: Calcular el periodo La frecuencia angular \( \omega \) se puede calcular usando cualquiera de las ecuaciones. Usamos la Ecuación 1: \[ \omega = \frac{2}{\sqrt{A^2 - 0.0064}} = \frac{2}{\sqrt{0.0073333 - 0.0064}} = \frac{2}{\sqrt{0.0009333}} \approx \frac{2}{0.0306} \approx 65.36 \, \text{rad/s} \] El periodo \( T \) se relaciona con \( \omega \) de la siguiente manera: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2\pi}{65.36} \approx 0.096 \, \text{s} \] ### Resumen de resultados - Amplitud \( A \approx 8.57 \, \text{cm} \) - Periodo \( T \approx 0.096 \, \text{s} \) Estos son los resultados finales del movimiento armónico simple basado en los datos proporcionados.