REACTIVO 6, RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE RAZONES. Activa tus competencias Cg 1, 4, 5, 6, 7, 8 Cd 1, 2, 3, 5 Encuentra los siguientes valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$, dadas las siguientes razones: $$ \operatorname{Pr}\left(x_{r}, y_{r}\right) $$ 1) Mi 1. $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$ con $$ r_{a b}=\frac{1}{3} $$ $$ m \overline{A B}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \quad M \overline{A B}=\frac{-8}{3} $$ $$ M \overline{A B}=\frac{-2-6}{4-1} $$ 2. $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$ con $$ r_{k l}=\frac{2}{3} $$ $$ \begin{array}{l} M_{K L}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \quad M K L= \ M_{\overline{K L}}=\frac{5-8}{8-5} \end{array} $$ 3. $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$ con $$ r_{m n}=2 $$ 4. $$ H(-4,1) $$ y $$ K(2,5) $$ con $$ r_{h k}=\frac{3}{4} $$ $$ \begin{array}{l} M_{\overline{H K}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \ M \overline{H K}=\frac{5-1}{2-4} \end{array} $$ 5) $$ A(-3,2) $$ y $$ K(6,5) $$ con $$ r_{a k}=\frac{-3}{4} $$

Question

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Para resolver los ejercicios de razones, vamos a seguir los pasos necesarios para encontrar los valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$ dadas las razones. Vamos a resolver cada uno de los casos que has proporcionado.

### 1. $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$ con $$ r_{ab}=\frac{1}{3} $$

Primero, calculamos la pendiente $$ M $$ de la línea que une los puntos $$ A $$ y $$ B $$:

$$
M_{\overline{AB}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 6}{4 - 1} = \frac{-8}{3}
$$

Ahora, usando la razón $$ r_{ab} = \frac{1}{3} $$, podemos encontrar el punto $$ P(x, y) $$ que divide el segmento $$ AB $$ en la razón dada. Usamos la fórmula de la división de segmentos:

$$
x = \frac{x_1 + r \cdot x_2}{1 + r} \quad \text{y} \quad y = \frac{y_1 + r \cdot y_2}{1 + r}
$$

Donde $$ r = \frac{1}{3} $$, $$ x_1 = 1 $$, $$ y_1 = 6 $$, $$ x_2 = 4 $$, $$ y_2 = -2 $$.

Calculamos $$ x $$ y $$ y $$:

$$
x = \frac{1 + \frac{1}{3} \cdot 4}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1 + \frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{4}
$$

$$
y = \frac{6 + \frac{1}{3} \cdot (-2)}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{6 - \frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{18}{3} - \frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{4}{3}} = 4
$$

Por lo tanto, la pareja ordenada es $$ \left( \frac{7}{4}, 4 \right) $$.

### 2. $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$ con $$ r_{kl}=\frac{2}{3} $$

Calculamos la pendiente $$ M $$:

$$
M_{\overline{KL}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 5}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3
$$

Ahora, usando la razón $$ r_{kl} = \frac{2}{3} $$:

$$
x = \frac{4 + \frac{2}{3} \cdot 3}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{4 + 2}{\frac{5}{3}} = \frac{6}{\frac{5}{3}} = \frac{18}{5}
$$

$$
y = \frac{5 + \frac{2}{3} \cdot 8}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5 + \frac{16}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{15}{3} + \frac{16}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{31}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{31}{5}
$$

La pareja ordenada es $$ \left( \frac{18}{5}, \frac{31}{5} \right) $$.

### 3. $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$ con $$ r_{mn}=2 $$

Calculamos la pendiente $$ M $$:

$$
M_{\overline{MN}} = \frac{-2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2
$$

Usando la razón $$ r_{mn} = 2 $$:

$$
x = \frac{-1 + 2 \cdot 3}{1 + 2} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}
$$

$$
y = \frac{6 + 2 \cdot (-2)}{1 + 2} = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3}
$$

La pareja ordenada es $$ \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) $$.

### 4. $$ H(-4,1) $$ y $$ K(2,5) $$ con $$ r_{hk}=\frac{3}{4} $$

Calculamos la pendiente $$ M $$:

$$
M_{\overline{HK}} = \frac{5 - 1}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
$$

Usando la razón $$ r_{hk} = \frac{3}{4} $$:

$$
x = \frac{-4 + \frac{3}{4} \cdot 2}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{-4 + \frac{3}{2}}{\frac{7}{4}} = \frac{-\frac{8}{2} + \frac{3}{2}}{\frac{7}{4}} = \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{7}{4}} = -\frac{10}{7}
$$

$$
y = \frac{1 + \frac{3}{4} \cdot 5}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1 + \frac{15}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{\frac{4}{4} + \frac{15}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{\frac{19}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{19}{7}
$$

La pareja ordenada es $$ \left( -\frac{10}{7}, \frac{19}{7} \right) $$.

### 5. $$ A(-3,2) $$ y $$ K(6,5) $$ con $$ r_{ak}=\frac{-3}{4} $$

Calculamos la pendiente $$ M $$:

\[
M_{\overline{AK}} = \frac{5 - 2}{6 - (-3)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3
Para resolver los ejercicios de razones, se calcula la pendiente de cada segmento y luego se aplica la fórmula de la división de segmentos según la razón dada. Los resultados son: 1. $$ \left( \frac{7}{4}, 4 \right) $$ 2. $$ \left( \frac{18}{5}, \frac{31}{5} \right) $$ 3. $$ \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) $$ 4. $$ \left( -\frac{10}{7}, \frac{19}{7} \right) $$ 5. $$ \left( \frac{1}{3}, \frac{11}{3} \right) $$

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