Question
Sea \( f(x) \) una función continua en todos los reales, y si se sabe que: \( \int_{0}^{6} f(x) d x=15 \) y \( \int_{0}^{4} f(x) d x=11 \). Determine el valor de: \( \int_{4}^{6} f(x) d x \)
Ask by Harmon Hodgson. in Mexico
Feb 21,2025
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El valor de \( \int_{4}^{6} f(x) \, dx \) es 4.
Solution
Sabemos que la integral definida es aditiva en intervalos consecutivos. Es decir, podemos escribir:
∫₀⁶ f(x) dx = ∫₀⁴ f(x) dx + ∫₄⁶ f(x) dx
Sustituyendo los valores conocidos:
15 = 11 + ∫₄⁶ f(x) dx
Despejando la integral de interés:
∫₄⁶ f(x) dx = 15 - 11 = 4
Por lo tanto, el valor de ∫₄⁶ f(x) dx es 4.
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Para resolver el problema, podemos usar la propiedad de la integral definida que establece que si tenemos un intervalo que se puede dividir en subintervalos, la integral sobre el intervalo completo es igual a la suma de las integrales sobre los subintervalos. Así que, en este caso, podemos escribir: \[ \int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx \] Sustituyendo los valores que tenemos: \[ 15 = 11 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx \] Ahora, restamos 11 de ambos lados de la ecuación: \[ \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 15 - 11 \] Por lo tanto: \[ \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 4 \] Así que el valor de \( \int_{4}^{6} f(x) \, dx \) es \( 4 \).
