Calcula el área encerrada bajo la gráhica de las dos siguientes funciones, $$ f(x)=2 x^{2}-x+3 y g(x)=x+3 $$

Question

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1. Primero, encontramos los puntos de intersección de las funciones $$ f(x)=2x^2-x+3 $$ y $$ g(x)=x+3 $$. Para ello igualamos las dos funciones:

$$
2x^2 - x + 3 = x + 3
$$

2. Simplificamos la ecuación restando $$ x+3 $$ de ambos lados:

$$
2x^2 - x + 3 - (x + 3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x^2 - 2x = 0
$$

3. Factorizamos la ecuación:

$$
2x(x - 1) = 0
$$

4. Obtenemos las soluciones:

$$
2x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 0 \quad \text{y} \quad x-1=0 \quad \Longrightarrow \quad x=1
$$

5. Los puntos de intersección se encuentran en $$ x=0 $$ y $$ x=1 $$.

6. Para determinar qué función está por encima en el intervalo $$[0,1]$$, evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo en $$ x=0.5 $$:

- $$ f(0.5)=2(0.5)^2-0.5+3=2(0.25)-0.5+3=0.5-0.5+3=3 $$
   - $$ g(0.5)=0.5+3=3.5 $$

Como $$ g(0.5) > f(0.5) $$, la función $$ g(x) $$ está por encima de $$ f(x) $$ en ese intervalo.

7. El área $$ A $$ encerrada entre las funciones se calcula mediante la integral definida:

$$
A=\int_{0}^{1} \Bigl( g(x)-f(x)\Bigr)\,dx
$$

8. Sustituimos $$ g(x) $$ y $$ f(x) $$:

$$
A=\int_{0}^{1} \Bigl[(x+3) - (2x^2-x+3)\Bigr]\,dx
$$

9. Simplificamos la integrando:

$$
(x+3) - (2x^2-x+3)=x+3-2x^2+x-3=2x-2x^2
$$

10. Entonces la integral se convierte en:

$$
A=\int_{0}^{1} (2x-2x^2)\,dx
$$

11. Factorizamos la constante:

$$
A=2\int_{0}^{1} \Bigl(x-x^2\Bigr)\,dx
$$

12. Calculamos la integral:

$$
\int (x-x^2)\,dx=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C
$$

13. Evaluamos de $$ 0 $$ a $$ 1 $$:

$$
\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}
$$

14. Encontramos la diferencia:

$$
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}
$$

15. Multiplicamos por $$ 2 $$:

$$
A=2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}
$$

El área encerrada bajo la gráfica de $$ f(x)=2x^2-x+3 $$ y $$ g(x)=x+3 $$ es, por lo tanto,

$$
\frac{1}{3}
$$
El área encerrada entre las funciones $$ f(x)=2x^2-x+3 $$ y $$ g(x)=x+3 $$ en el intervalo $$[0,1]$$ es $$ \frac{1}{3} $$.

Calcula el área encerrada bajo la gráhica de las dos siguientes funciones, \( f(x)=2 x^{2}-x+3 y g(x)=x+3 \)