65 Troba lequació de la recta s que passa per l'origen de coordenades i que forma un angle $$ \alpha=60^{\circ} $$ amb la recta $$ r: x-y+2=0 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Queremos hallar la ecuación de la recta s que pasa por el origen (0, 0) y que forma un ángulo α = 60° con la recta r: x − y + 2 = 0.

1. Primero, escribimos la recta r en forma pendiente‐intersección:
  x − y + 2 = 0 ⟹ −y = −x − 2 ⟹ y = x + 2.
Así, la pendiente de r es m₁ = 1.

2. Sea m la pendiente de la recta s. Como s pasa por el origen, su ecuación es:
  y = m x.

3. El ángulo entre dos rectas cuyas pendientes son m₁ y m se obtiene con la fórmula:
  tan(|α|) = |(m − m₁) / (1 + m m₁)|.
Dado que α = 60° y tan 60° = √3, tenemos:
  |(m − 1) / (1 + m)| = √3.

Esta ecuación nos conduce a dos casos:

Caso (a): (m − 1)/(1 + m) = √3  
  m − 1 = √3 (1 + m)  
  m − 1 = √3 + √3 m  
  m − √3 m = √3 + 1  
  m (1 − √3) = 1 + √3  
  m = (1 + √3)/(1 − √3).

Para simplificar, observamos que 1 − √3 = −(√3 − 1), de modo que:
  m = −(1 + √3)/(√3 − 1).

Multiplicamos numerador y denominador por (√3 + 1):
  m = −[(1 + √3)(1 + √3)]/[(√3 − 1)(√3 + 1)]
   = −[(1 + √3)²]/(3 − 1)
   = −[(1 + 2√3 + 3)]/2
   = −(4 + 2√3)/2
   = −(2 + √3).

Caso (b): (m − 1)/(1 + m) = −√3  
  m − 1 = −√3 (1 + m)  
  m − 1 = −√3 − √3 m  
  Reuniendo términos en m:
  m + √3 m = 1 − √3  
  m (1 + √3) = 1 − √3  
  m = (1 − √3)/(1 + √3).

Simplificamos este cociente. Una forma es multiplicar numerador y denominador por (1 − √3):
  m = (1 − √3)²/(1 − (√3)²)
   = (1 − 2√3 + 3)/(1 − 3)
   = (4 − 2√3)/(−2)
   = −(4 − 2√3)/2
   = −2 + √3
   = √3 − 2.

4. Finalmente, las dos posibles rectas s (debido a la ambigüedad del ángulo orientado entre rectas) son:
  • s: y = (√3 − 2) x  
  • s: y = −(2 + √3)x

Ambas cumplen que forman un ángulo de 60° (el valor absoluto de dicho ángulo entre ellas) con la recta r: x − y + 2 = 0.

Por lo tanto, la respuesta es:

La recta s, que pasa por el origen y forma un ángulo de 60° con r, puede tener cualquiera de las ecuaciones:

y = (√3 − 2)x  o  y = −(2 + √3)x.
Las rectas s que pasan por el origen y forman un ángulo de 60° con la recta r: x − y + 2 = 0 son: 1. y = (√3 − 2)x 2. y = −(2 + √3)x

65 Troba lequació de la recta s que passa per l'origen de coordenades i que forma un angle \( \alpha=60^{\circ} \) amb la recta \( r: x-y+2=0 \).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions