65 Troba lequació de la recta s que passa per l'origen de coordenades i que forma un angle \( \alpha=60^{\circ} \) amb la recta \( r: x-y+2=0 \).

Queremos hallar la ecuación de la recta s que pasa por el origen (0, 0) y que forma un ángulo α = 60° con la recta r: x − y + 2 = 0. 1. Primero, escribimos la recta r en forma pendiente‐intersección:   x − y + 2 = 0 ⟹ −y = −x − 2 ⟹ y = x + 2. Así, la pendiente de r es m₁ = 1. 2. Sea m la pendiente de la recta s. Como s pasa por el origen, su ecuación es:   y = m x. 3. El ángulo entre dos rectas cuyas pendientes son m₁ y m se obtiene con la fórmula:   tan(|α|) = |(m − m₁) / (1 + m m₁)|. Dado que α = 60° y tan 60° = √3, tenemos:   |(m − 1) / (1 + m)| = √3. Esta ecuación nos conduce a dos casos: Caso (a): (m − 1)/(1 + m) = √3   m − 1 = √3 (1 + m)   m − 1 = √3 + √3 m   m − √3 m = √3 + 1   m (1 − √3) = 1 + √3   m = (1 + √3)/(1 − √3). Para simplificar, observamos que 1 − √3 = −(√3 − 1), de modo que:   m = −(1 + √3)/(√3 − 1). Multiplicamos numerador y denominador por (√3 + 1):   m = −[(1 + √3)(1 + √3)]/[(√3 − 1)(√3 + 1)]    = −[(1 + √3)²]/(3 − 1)    = −[(1 + 2√3 + 3)]/2    = −(4 + 2√3)/2    = −(2 + √3). Caso (b): (m − 1)/(1 + m) = −√3   m − 1 = −√3 (1 + m)   m − 1 = −√3 − √3 m   Reuniendo términos en m:   m + √3 m = 1 − √3   m (1 + √3) = 1 − √3   m = (1 − √3)/(1 + √3). Simplificamos este cociente. Una forma es multiplicar numerador y denominador por (1 − √3):   m = (1 − √3)²/(1 − (√3)²)    = (1 − 2√3 + 3)/(1 − 3)    = (4 − 2√3)/(−2)    = −(4 − 2√3)/2    = −2 + √3    = √3 − 2. 4. Finalmente, las dos posibles rectas s (debido a la ambigüedad del ángulo orientado entre rectas) son:   • s: y = (√3 − 2) x   • s: y = −(2 + √3)x Ambas cumplen que forman un ángulo de 60° (el valor absoluto de dicho ángulo entre ellas) con la recta r: x − y + 2 = 0. Por lo tanto, la respuesta es: La recta s, que pasa por el origen y forma un ángulo de 60° con r, puede tener cualquiera de las ecuaciones:   y = (√3 − 2)x  o  y = −(2 + √3)x.