Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Soit un trièdre trirectangle formé par trois plans perpendiculaires deux à deux qui se rencontrent en un point \( O \). On peut choisir un repère tel que ces plans soient donnés par \[ \begin{cases} x=0,\\[1mm] y=0,\\[1mm] z=0. \end{cases} \] Une sphère tangent à ces trois plans aura pour distance du centre à chacun de ces plans la même valeur, que l’on note \( r \). En effet, si \( M(x,y,z) \) est le centre de la sphère et \( r \) son rayon, la tangence est équivalente à \[ \begin{cases} |x|=r,\\[1mm] |y|=r,\\[1mm] |z|=r. \end{cases} \] Dans le cas du trièdre trirectangle, on s’intéresse typiquement aux solutions dans l’octant où \( x,y,z\ge 0 \). Alors, on doit avoir \[ x=r,\quad y=r,\quad z=r. \] Ainsi, le centre \( M \) de la sphère est de la forme \[ M(r,r,r) \quad \text{avec } r>0. \] Le lieu des points \( M \) satisfaisant cette condition est donc la demi-droite issue de \( O \) le long de la droite d’équation \[ x=y=z. \] En conclusion, le lieu géométrique des points d’où l’on peut conduire à une sphère tangente aux trois plans du trièdre trirectangle est la demi-droite \[ \{\, (r,r,r) \mid r>0 \,\}. \]