Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

Question

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Soit un trièdre trirectangle formé par trois plans perpendiculaires deux à deux qui se rencontrent en un point $$ O $$. On peut choisir un repère tel que ces plans soient donnés par

$$
\begin{cases}
x=0,\[1mm]
y=0,\[1mm]
z=0.
\end{cases}
$$

Une sphère tangent à ces trois plans aura pour distance du centre à chacun de ces plans la même valeur, que l’on note $$ r $$. En effet, si $$ M(x,y,z) $$ est le centre de la sphère et $$ r $$ son rayon, la tangence est équivalente à

$$
\begin{cases}
|x|=r,\[1mm]
|y|=r,\[1mm]
|z|=r.
\end{cases}
$$

Dans le cas du trièdre trirectangle, on s’intéresse typiquement aux solutions dans l’octant où $$ x,y,z\ge 0 $$. Alors, on doit avoir

$$
x=r,\quad y=r,\quad z=r.
$$

Ainsi, le centre $$ M $$ de la sphère est de la forme

$$
M(r,r,r) \quad \text{avec } r>0.
$$

Le lieu des points $$ M $$ satisfaisant cette condition est donc la demi-droite issue de $$ O $$ le long de la droite d’équation

$$
x=y=z.
$$

En conclusion, le lieu géométrique des points d’où l’on peut conduire à une sphère tangente aux trois plans du trièdre trirectangle est la demi-droite

$$
\{\, (r,r,r) \mid r>0 \,\}.
$$
Le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère tangente aux trois plans d'un trièdre trirectangle est la demi-droite $$ (r, r, r) $$ avec $$ r > 0 $$.

Quel est le lieu géométrique des points d'où l'on peut mener à une sphère, trois pla tangents formant entre eux un trièdre trirectangle

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