Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto crítico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto crítico Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

Para determinar la naturaleza del punto crítico de la función de temperatura \( T(x, y) = 3x^2 - y^2 + 4x \) en \( (x, y) = \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \), utilizaremos el método de la segunda derivada. A continuación, se describen los pasos a seguir: ### Paso 1: Calcular las derivadas parciales Primero, necesitamos calcular las derivadas parciales de \( T \) con respecto a \( x \) y \( y \): 1. **Derivada parcial con respecto a \( x \)**: \[ T_x = \frac{\partial T}{\partial x} = 6x + 4 \] 2. **Derivada parcial con respecto a \( y \)**: \[ T_y = \frac{\partial T}{\partial y} = -2y \] ### Paso 2: Evaluar las derivadas en el punto crítico Ahora evaluamos estas derivadas en el punto crítico \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \): 1. Evaluamos \( T_x \): \[ T_x\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = 6\left(-\frac{2}{3}\right) + 4 = -4 + 4 = 0 \] 2. Evaluamos \( T_y \): \[ T_y\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = -2(0) = 0 \] Ambas derivadas parciales son cero, lo que confirma que \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) es un punto crítico. ### Paso 3: Calcular las segundas derivadas Ahora calculamos las segundas derivadas: 1. **Segunda derivada con respecto a \( x \)**: \[ T_{xx} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 6 \] 2. **Segunda derivada con respecto a \( y \)**: \[ T_{yy} = \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -2 \] 3. **Derivada mixta**: \[ T_{xy} = \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} = 0 \] ### Paso 4: Calcular el determinante \( D \) El determinante \( D \) se calcula como sigue: \[ D = T_{xx} T_{yy} - (T_{xy})^2 \] Sustituyendo los valores: \[ D = (6)(-2) - (0)^2 = -12 \] ### Paso 5: Interpretar el valor de \( D \) - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} > 0 \), el punto crítico es un mínimo local. - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} < 0 \), el punto crítico es un máximo local. - Si \( D < 0 \), el punto crítico es un punto de silla. - Si \( D = 0 \), la prueba es inconclusa. En este caso, como \( D = -12 < 0 \), concluimos que el punto crítico \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) es un **punto de silla**.