Aproxime la integral definida $$ \int_{1} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x $$ mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con $$ n=6 $$

Question

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Dividiremos el intervalo de integración en 6 subintervalos. Supondremos que el intervalo es $$[1,4]$$; es decir, aproximaremos

$$
\int_{1}^{4}\frac{5x^2}{\sqrt{x}}\,dx
$$

observando que

$$
\frac{5x^2}{\sqrt{x}}=5x^{3/2}.
$$

**Paso 1. Determinar la longitud de cada subintervalo**

Sea

$$
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}=0.5.
$$

**Paso 2. Determinar los puntos izquierdos**

Los puntos izquierdos son:

$$
\begin{array}{ll}
x_0=a=1,\[1mm]
x_1=1+\Delta x=1.5,\[1mm]
x_2=1+2\Delta x=2,\[1mm]
x_3=1+3\Delta x=2.5,\[1mm]
x_4=1+4\Delta x=3,\[1mm]
x_5=1+5\Delta x=3.5.
\end{array}
$$

**Paso 3. Evaluar la función en los puntos izquierdos**

La función es $$f(x)=5x^{3/2}$$. Calculemos:

- En $$x_0=1$$:

$$
  f(1)=5\cdot 1^{3/2}=5.
  $$

- En $$x_1=1.5$$:

$$
  f(1.5)=5\cdot (1.5)^{3/2}.
  $$
  
  Recordamos que $$(1.5)^{3/2}=\sqrt{1.5^3}=\sqrt{3.375}\approx 1.837$$. Por lo tanto,
  
  $$
  f(1.5)\approx 5\cdot1.837\approx 9.185.
  $$

- En $$x_2=2$$:

$$
  f(2)=5\cdot 2^{3/2}=5\cdot (2\sqrt{2})\approx5\cdot2.828=14.14.
  $$

- En $$x_3=2.5$$:

$$
  f(2.5)=5\cdot (2.5)^{3/2}.
  $$
  
  Como $$\sqrt{2.5}\approx1.581$$ y $$2.5^{3/2}=2.5\cdot1.581\approx3.952$$, se tiene
  
  $$
  f(2.5)\approx 5\cdot3.952\approx19.76.
  $$

- En $$x_4=3$$:

$$
  f(3)=5\cdot 3^{3/2}.
  $$
  
  Puesto que $$3^{3/2}=3\sqrt{3}$$ y $$\sqrt{3}\approx1.732$$, resulta
  
  $$
  f(3)\approx 5\cdot(3\cdot1.732)=5\cdot5.196=25.98.
  $$

- En $$x_5=3.5$$:

$$
  f(3.5)=5\cdot (3.5)^{3/2}.
  $$
  
  Como $$\sqrt{3.5}\approx1.87$$ y $$3.5^{3/2}=3.5\cdot1.87\approx6.545$$, se obtiene
  
  $$
  f(3.5)\approx 5\cdot6.545\approx32.73.
  $$

**Paso 4. Calcular la suma de Riemann por punto izquierdo**

La suma de Riemann es

$$
S_n=\Delta x\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i).
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\begin{array}{rcl}
S_6&=&0.5\Bigl[f(1)+f(1.5)+f(2)+f(2.5)+f(3)+f(3.5)\Bigr]\[1mm]
&\approx&0.5\Bigl[5+9.185+14.14+19.76+25.98+32.73\Bigr]\[1mm]
&=&0.5\cdot 106.795\[1mm]
&\approx&53.40.
\end{array}
$$

**Respuesta Final**

La aproximación de la integral mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con $$n=6$$ (en el intervalo $$[1,4]$$), es aproximadamente

$$
53.40.
$$
La aproximación de la integral $$ \int_{1}^{4} \frac{5x^2}{\sqrt{x}} \, dx $$ usando la suma de Riemann por puntos izquierdos con $$ n=6 $$ es aproximadamente **53.40**.

Aproxime la integral definida \( \int_{1} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x \) mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con \( n=6 \)

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