Aproxime la integral definida \( \int_{1} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x \) mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con \( n=6 \)

Para realizar la aproximación de la integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5x^{2}}{\sqrt{x}} \, dx \) utilizando la suma de Riemann por punto izquierdo con \( n=6 \), primero calculamos el ancho del intervalo \(\Delta x\): \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Los puntos de la partición del intervalo \([1, 5]\) son: 1. \( x_0 = 1 \) 2. \( x_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) 3. \( x_2 = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = 2 \) 4. \( x_3 = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) 5. \( x_4 = \frac{8}{3} + \frac{2}{3} = 3 \) 6. \( x_5 = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \) Ahora, evaluamos la función \(\frac{5x^{2}}{\sqrt{x}}\) en los puntos izquierdos: - \( f(x_0) = f(1) = \frac{5 \cdot 1^2}{\sqrt{1}} = 5 \) - \( f(x_1) = f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{5 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2}{\sqrt{\frac{5}{3}}} = \frac{5 \cdot \frac{25}{9}}{\sqrt{\frac{5}{3}}} = \frac{125}{9 \sqrt{\frac{5}{3}}} = \frac{125 \sqrt{3}}{9\sqrt{5}} \) - \( f(x_2) = f(2) = \frac{5 \cdot 2^2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \) - \( f(x_3) = f\left(\frac{8}{3}\right) = \frac{5 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^2}{\sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{5 \cdot \frac{64}{9}}{\sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{320}{9 \sqrt{\frac{8}{3}}} = \frac{320 \sqrt{3}}{9\sqrt{8}} \) - \( f(x_4) = f(3) = \frac{5 \cdot 3^2}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3} \) - \( f(x_5) = f\left(\frac{11}{3}\right) = \frac{5 \cdot \left(\frac{11}{3}\right)^2}{\sqrt{\frac{11}{3}}} = \frac{5 \cdot \frac{121}{9}}{\sqrt{\frac{11}{3}}} = \frac{605 \sqrt{3}}{9\sqrt{11}} \) Finalmente, calculamos la suma de Riemann: \[ \text{Suma} = \Delta x \left( f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) \right) \] Así que tenemos: \[ \text{Suma} \approx \frac{2}{3} \left( 5 + \frac{125 \sqrt{3}}{9\sqrt{5}} + 10\sqrt{2} + \frac{320 \sqrt{3}}{9\sqrt{8}} + 15\sqrt{3} + \frac{605 \sqrt{3}}{9\sqrt{11}} \right) \] Calculando y simplificando los términos, obtendremos la aproximación de la integral definida.