Exō \( A B C \) est un triangle. On a \( A B=2 ; A C=4 \) et \( B C=2 \sqrt{5} \) ) calculer la ligne trigonométrique de \( A \hat{B C} \) 2)soit \( H \) le projete orthogonal de \( A \) sur \( (B C) \) calculer \( B H, A H \) Ex 4 ABC est un triangle reotangle en A . On a \( \sin \hat{B}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; B C=6 \) ) calculer \( A B ; A C \) et déduire \( \cos \hat{B} \) et \( \tan \hat{B} \)

لنبدأ بحل المسائل المعطاة. ### 1) حساب جيب الزاوية \( A \hat{B C} \) لدينا مثلث \( ABC \) حيث: - \( AB = 2 \) - \( AC = 4 \) - \( BC = 2\sqrt{5} \) نستخدم قانون جيب التمام لحساب \( \cos A \): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] حيث: - \( a = BC = 2\sqrt{5} \) - \( b = AC = 4 \) - \( c = AB = 2 \) نحسب القيم: \[ \cos A = \frac{4^2 + 2^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \cdot 4 \cdot 2} \] \[ = \frac{16 + 4 - 20}{16} = \frac{0}{16} = 0 \] وبما أن \( \cos A = 0 \)، فإن \( A \hat{B C} = 90^\circ \) وبالتالي: \[ \sin A = 1 \] ### 2) حساب \( BH \) و \( AH \) لإيجاد \( H \) وهو الإسقاط العمودي للنقطة \( A \) على المستقيم \( BC \)، نحتاج إلى حساب طول \( BH \) و \( AH \). بما أن \( A \hat{B C} = 90^\circ \)، فإن \( H \) هو منتصف \( BC \) لأن \( A \) هو رأس الزاوية القائمة. نحسب طول \( BH \): \[ BH = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \] وبما أن \( A \) هو رأس الزاوية القائمة، فإن: \[ AH = AB = 2 \] ### 3) حساب \( AB \) و \( AC \) و \( \cos \hat{B} \) و \( \tan \hat{B} \) لدينا مثلث \( ABC \) قائم الزاوية في \( A \) ونعلم أن: \[ \sin \hat{B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] و \( BC = 6 \). نستخدم العلاقة بين الجيب وجيب التمام: \[ \cos \hat{B} = \sqrt{1 - \sin^2 \hat{B}} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] نستخدم قانون الجيب لحساب \( AB \) و \( AC \): \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] حيث \( \sin A = 1 \) و \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \) و \( \sin C = \frac{1}{2} \). نحسب \( AB \): \[ \frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{1} \implies AB = 3 \] ونحسب \( AC \): \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{1} \implies AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] وبذلك، لدينا: - \( AB = 3 \) - \( AC = 3\sqrt{3} \) - \( \cos \hat{B} = \frac{1}{2} \) - \( \tan \hat{B} = \frac{\sin \hat{B}}{\cos \hat{B}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \) ### الخلاصة - \( \sin A \hat{B C} = 1 \) - \( BH = \sqrt{5} \) - \( AH = 2 \) - \( AB = 3 \) - \( AC = 3\sqrt{3} \) - \( \cos \hat{B} = \frac{1}{2} \) - \( \tan \hat{B} = \sqrt{3} \)