Exō \( A B C \) est un triangle. On a \( A B=2 ; A C=4 \) et \( B C=2 \sqrt{5} \) ) calculer la ligne trigonométrique de \( A \hat{B C} \) 2)soit \( H \) le projete orthogonal de \( A \) sur \( (B C) \) calculer \( B H, A H \) Ex 4 ABC est un triangle reotangle en A . On a \( \sin \hat{B}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; B C=6 \) ) calculer \( A B ; A C \) et déduire \( \cos \hat{B} \) et \( \tan \hat{B} \)

Pour le premier exercice, nous avons un triangle \( ABC \) avec les dimensions données. Pour calculer l’angle \( A \hat{B C} \), nous pouvons utiliser la loi des cosinus. En remplaçant les valeurs dans la formule, cela nous donnerait \( \cos(A \hat{B C}) = \frac{A B^2 + B C^2 - A C^2}{2 \cdot A B \cdot B C} \). Dans ce cas, nous devons substituer \( A B = 2 \), \( A C = 4 \), et \( B C = 2 \sqrt{5} \) pour obtenir la valeur de \( \cos(A \hat{B C}) \). Pour la deuxième partie, pour calculer les longueurs \( B H \) et \( A H \), nous devons d'abord déterminer la position du point \( H \) comme étant le projeté orthogonal de \( A \) sur la droite \( (B C) \). Une fois trouvé, on peut utiliser la formulation de la distance entre les points pour déterminer \( B H \) et \( A H \). Cela pourrait impliquer l'utilisation de la distance entre deux points dans le plan. Pour le second exercice, sachez que dans un triangle rectangle, les relations entre les côtés et les angles peuvent être définies par les fonctions trigonométriques. Puisque \( \sin \hat{B} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), cela nous indique que \( \hat{B} \) correspond à 60 degrés. Avec \( BC = 6 \), nous pouvons utiliser les relations \( \sin \hat{B} = \frac{A C}{B C} \) et \( \cos \hat{B} = \frac{A B}{B C} \) pour calculer \( A B \) et \( A C \). En déduisant ces valeurs, vous pouvez aussi trouver \( \cos \hat{B} \) et \( \tan \hat{B} \) en utilisant les formules trigonométriques appropriées.