4. Dos cables, uno de aluminio de densidad \( \rho_{1}=2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \), área de sección \( A_{1}=2 \mathrm{~cm}^{2} \), longitud \( \ell_{1}= \) 2 m , modulo de Young \( Y_{1}=70 \mathrm{GPa} \), y otro de acero de densidad \( \rho_{2}=7,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \), área de sección \( A_{2}= \) \( 2 \mathrm{~cm}^{2} \), longitud \( \ell_{2}=3 \mathrm{~m} \), módulo de Young \( Y_{2}=200 \mathrm{GPa} \) se unen rigidamente por sus extremos. El extremo superior del cable de aluminio se ubica en el techo y el extremo inferior del cable de acero sostiene una carga de peso \( W=400 \mathrm{~N} \). Hallar la deformación total en la longitud del sistema de cables. \( (g= \) \( \left.10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \) \( \begin{array}{lllll}\text { a) } 90,4 \mu \mathrm{~m} & \text { b) } 92,4 \mu \mathrm{~m} & \text { c) } 94,4 \mu \mathrm{~m} & \text { d) } 96,4 \mu \mathrm{~m} & \text { e) } 98,4 \mu \mathrm{~m}\end{array} \)

Sean dos cables unidos rígidamente: el de aluminio (cable 1) y el de acero (cable 2). El de aluminio está en la parte superior (fijado al techo) y el de acero en la parte inferior, que sostiene una carga de \( W = 400 \, \mathrm{N} \). Se debe considerar que cada cable se estira debido a la carga aplicada en su extremo inferior y a su peso propio. Para un cable de longitud \( \ell \), área \( A \), módulo de Young \( Y \) y densidad \( \rho \), cuando se cuelga una carga en el extremo inferior, la tensión varía a lo largo de la longitud. La deformación diferencial es \[ d\Delta = \frac{T(x)}{A Y} \, dx, \] donde la tensión en una sección a una distancia \( x \) desde el extremo superior es \[ T(x)= F + \rho\, A\, g\, (\ell - x), \] si \( F \) es la fuerza aplicada en el extremo inferior. Integrando de \( x=0 \) a \( \ell \) se obtiene la deformación total: \[ \Delta = \frac{1}{A Y}\left[ F\,\ell + \frac{1}{2} \rho\, A\, g\, \ell^2\right]. \] --------------------------------------------- **Datos del problema (convertidos a unidades SI):** 1. Cable de aluminio (cable 1):  - Densidad:   \[  \rho_1 = 2.7 \, \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3} = 2700 \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},  \]  - Área:   \[  A_1 = 2 \, \mathrm{cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{m}^2,  \]  - Longitud:   \(\ell_1 = 2 \, \mathrm{m}\),  - Módulo de Young:   \[  Y_1 = 70 \, \mathrm{GPa} = 70 \times 10^9 \, \mathrm{Pa}.  \] 2. Cable de acero (cable 2):  - Densidad:   \[  \rho_2 = 7.8 \, \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3} = 7800 \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},  \]  - Área:   \[  A_2 = 2 \, \mathrm{cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{m}^2,  \]  - Longitud:   \(\ell_2 = 3 \, \mathrm{m}\),  - Módulo de Young:   \[  Y_2 = 200 \, \mathrm{GPa} = 200 \times 10^9 \, \mathrm{Pa}.  \] La aceleración de la gravedad es \( g = 10 \, \mathrm{m/s}^2 \). --------------------------------------------- **Cálculo del estiramiento en cada cable:** 1. **Cable de acero (cable 2):** En el cable de acero, la carga en el extremo inferior es \( F_2 = 400 \, \mathrm{N} \). Entonces, usando la fórmula: \[ \Delta \ell_2 = \frac{F_2 \ell_2}{A_2 Y_2} + \frac{\rho_2 g \ell_2^2}{2\, Y_2}. \] Calculamos cada término: - Término por la fuerza aplicada:  Numerador: \( F_2 \ell_2 = 400 \times 3 = 1200 \, \mathrm{N \cdot m} \).  Denominar: \( A_2 Y_2 = 2 \times 10^{-4} \times 200 \times 10^9 = 4 \times 10^7 \, \mathrm{N/m^2} \).  Entonces,  \[  \frac{1200}{4 \times 10^7} = 3 \times 10^{-5} \, \mathrm{m} \quad (30 \, \mu\mathrm{m}).  \] - Término por el peso propio:  Calcular:  \[  \frac{\rho_2\, g\, \ell_2^2}{2\,Y_2} = \frac{7800 \times 10 \times 3^2}{2 \times 200 \times 10^9}.  \]  Primero, \(3^2 = 9\) y el numerador:  \[  7800 \times 10 \times 9 = 702000.  \]  Denominar: \(2 \times 200 \times 10^9 = 400 \times 10^9 = 4 \times 10^{11}\).  Así,  \[  \frac{702000}{4 \times 10^{11}} \approx 1.755 \times 10^{-6} \, \mathrm{m} \quad (1.76 \, \mu\mathrm{m}).  \] Por tanto, el alargamiento del cable de acero es \[ \Delta \ell_2 \approx 30 \, \mu\mathrm{m} + 1.76 \, \mu\mathrm{m} \approx 31.76 \, \mu\mathrm{m}. \] 2. **Cable de aluminio (cable 1):** El cable de aluminio soporta toda la carga que cuelga debajo, es decir, la suma del peso de la carga \( W \) y el propio peso del cable de acero. - Primero, se calcula el peso del cable de acero:  La masa del cable de acero es  \[  m_2 = \rho_2 \, A_2 \, \ell_2 = 7800 \times 2 \times 10^{-4} \times 3.  \]  Calculamos:  \[  7800 \times 2 \times 10^{-4} = 1.56 \quad \text{y} \quad 1.56 \times 3 = 4.68 \, \mathrm{kg}.  \]  Entonces el peso es:  \[  P_2 = m_2\,g = 4.68 \times 10 = 46.8 \, \mathrm{N}.  \] - La fuerza que actúa en el extremo inferior del cable de aluminio es \[ F_1 = W + P_2 = 400 + 46.8 = 446.8 \, \mathrm{N}. \] Utilizando la misma fórmula para la deformación: \[ \Delta \ell_1 = \frac{F_1 \ell_1}{A_1 Y_1} + \frac{\rho_1\, g\, \ell_1^2}{2\,Y_1}. \] Calculemos cada término: - Término por la carga aplicada:  Numerador: \( F_1 \ell_1 = 446.8 \times 2 = 893.6 \, \mathrm{N \cdot m} \).  Denominar: \( A_1 Y_1 = 2 \times 10^{-4} \times 70 \times 10^9 = 14 \times 10^6 = 1.4 \times 10^7 \).  Entonces,  \[  \frac{893.6}{1.4 \times 10^7} \approx 6.38 \times 10^{-5} \