Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la curva de la funcion: $$ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 $$ Intervalo: $$ x_{1}=0 $$ y $$ x_{2}=2 $$

Question

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**Paso 1. Dividir el intervalo**

Se desea aproximar el área bajo la curva de  
$$
f(x) = x^3 + 2x^2 + 1
$$
en el intervalo $$[0,2]$$ utilizando sumas de Riemann. Dividimos el intervalo en $$ n $$ subintervalos de igual longitud. El ancho de cada subintervalo es

$$
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
$$

**Paso 2. Seleccionar los puntos de muestra**

Utilizaremos los extremos derechos. El $$ i $$-ésimo punto de muestra es

$$
x_i = 0 + i\Delta x = \frac{2i}{n} \quad \text{para } i = 1,2,\ldots,n.
$$

**Paso 3. Escribir la suma de Riemann**

La suma de Riemann es

$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} \left[\left(\frac{2i}{n}\right)^3 + 2\left(\frac{2i}{n}\right)^2 + 1\right].
$$

Calculemos cada término:

- Para $$\left(\frac{2i}{n}\right)^3$$:

$$
\left(\frac{2i}{n}\right)^3 = \frac{8i^3}{n^3}.
$$

- Para $$2\left(\frac{2i}{n}\right)^2$$:

$$
2\left(\frac{2i}{n}\right)^2 = 2\frac{4i^2}{n^2} = \frac{8i^2}{n^2}.
$$

Así, la suma se escribe como

$$
S_n = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{8i^3}{n^3} + \frac{8i^2}{n^2} + 1\right).
$$

**Paso 4. Separar la suma y utilizar fórmulas conocidas**

Separemos la suma:

$$
S_n = \frac{2}{n} \left[ \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^{n}i^3 + \frac{8}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i^2 + \sum_{i=1}^{n}1 \right].
$$

Utilizaremos las siguientes fórmulas de sumatorias:

- $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$,
- $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$,
- $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 1 = n$$.

Reemplazando, tenemos:

$$
S_n = \frac{2}{n} \left[\frac{8}{n^3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{8}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n\right].
$$

**Paso 5. Simplificar cada término**

1. Primer término:

$$
\frac{2}{n} \cdot \frac{8}{n^3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{2 \cdot 8}{4} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{16}{4} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = 4\cdot\frac{(n+1)^2}{n^2}.
$$

2. Segundo término:

$$
\frac{2}{n} \cdot \frac{8}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2 \cdot 8}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \frac{16}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}.
$$

3. Tercer término:

$$
\frac{2}{n} \cdot n = 2.
$$

Entonces,

$$
S_n = 4\,\frac{(n+1)^2}{n^2} + \frac{8}{3}\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} + 2.
$$

**Paso 6. Tomar el límite cuando $$n \to \infty$$**

Evaluamos cada término:

1. $$\displaystyle \lim_{n\to\infty} 4\,\frac{(n+1)^2}{n^2} = 4\,\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 = 4.$$

2. $$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{8}{3}\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \frac{8}{3}\,\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{n^2} = \frac{8}{3}\cdot 2 = \frac{16}{3}.$$

3. El tercer término es constante: $$2.$$

Suma total:

$$
\lim_{n \to \infty} S_n = 4 + \frac{16}{3} + 2.
$$

Simplificando:

$$
4 + 2 = 6,\quad \text{entonces,} \quad 6 + \frac{16}{3} = \frac{18}{3} + \frac{16}{3} = \frac{34}{3}.
$$

**Paso 7. Conclusión**

El área bajo la curva de $$ f(x)=x^3+2x^2+1 $$ en el intervalo $$[0,2]$$ es

$$
\boxed{\frac{34}{3}}.
$$
El área bajo la curva de $$ f(x) = x^3 + 2x^2 + 1 $$ en el intervalo $$[0,2]$$ es $$ \frac{34}{3} $$.

Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la curva de la funcion: \[ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 \] Intervalo: \( x_{1}=0 \) y \( x_{2}=2 \)

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