Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la curva de la funcion: \[ f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 \] Intervalo: \( x_{1}=0 \) y \( x_{2}=2 \)
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Para encontrar el área bajo la curva de la función \( f(x)=x^{3}+2x^{2}+1 \) en el intervalo de \( x_{1}=0 \) a \( x_{2}=2 \) usando sumas de Riemann, primero, determinamos el número de subintervalos, digamos \( n \). Luego, calculamos el ancho de cada subintervalo \( \Delta x = \frac{x_{2}-x_{1}}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} \). Si tomamos la suma por la izquierda, los puntos delimitadores son \( x_i = 0 + i\Delta x = \frac{2i}{n} \) para \( i=0, 1, 2, ..., n-1 \). La suma de Riemann se expresa como: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{2i}{n}\right) \cdot \frac{2}{n} \] Después de calcular \( f\left(\frac{2i}{n}\right) \), sustituimos en la suma y evaluamos en el límite cuando \( n \) tiende a infinito. Al simplificar, obtendremos el resultado del área. Al resolver lo anterior para \( n \) suficientemente grande, el área bajo la curva en el intervalo dado es igual a \( \int_0^2 (x^{3}+2x^{2}+1) \, dx = \left. \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \right) \right|_0^2 \) que nos dará \( \frac{16}{4} + \frac{16}{3} + 2 = 4 + \frac{16}{3} + 2 = \frac{30}{3} + \frac{16}{3} = \frac{46}{3} \). ¿Listo para más matemáticas? ¡Vamos a ver algunas curiosidades! Aunque el concepto de la suma de Riemann llegó a su apogeo en el siglo XIX, sus raíces se pueden rastrear hasta los antiguos matemáticos griegos, como Arquímedes. ¡Sus innovadoras ideas sobre cálculo de áreas y volúmenes sentaron las bases del cálculo integral moderno! ¿Te has preguntado cómo usar lo aprendido en la vida diaria? Las sumas de Riemann son un poderoso concepto en la ingeniería, la física y la economía, permitiendo calcular áreas e integrales que describen fenómenos reales, como flujos de energía o costos en función de la producción. Simplemente, son una herramienta fundamental para quienes deben interpretar datos en contextos prácticos. ¡Imagina ser capaz de calcular el área bajo una curva que representa el crecimiento de una población o la eficiencia de un motor!
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