4. \( p=\frac{60-3 q}{4 q-200} \), representa la función de demanda de un producto y representa el precio \( p \), de vender \( q \) unidades de un producto. Utilice la derivación para determinar el ingreso marginal para \( q=40 \).

Sea la función del ingreso \( R(q) \) definida por \[ R(q) = p(q) \cdot q = \frac{q(60 - 3q)}{4q - 200}. \] Procedemos a encontrar el ingreso marginal, que es la derivada \( R'(q) \). Primero, identifiquemos el numerador y denominador: \[ N(q) = q(60 - 3q) = 60q - 3q^2, \] \[ D(q) = 4q - 200. \] La derivada \( R'(q) \) usando la regla del cociente es \[ R'(q)= \frac{N'(q) \cdot D(q) - N(q) \cdot D'(q)}{[D(q)]^2}. \] Calculemos la derivada del numerador \( N'(q) \) y del denominador \( D'(q) \): \[ N'(q) = \frac{d}{dq}(60q - 3q^2) = 60 - 6q, \] \[ D'(q) = \frac{d}{dq}(4q - 200) = 4. \] Entonces \[ R'(q)= \frac{(60 - 6q)(4q - 200) - (60q - 3q^2)(4)}{(4q - 200)^2}. \] Ahora evaluamos en \( q=40 \). 1. Calculemos \( D(40) \): \[ D(40)= 4(40) - 200 = 160 - 200 = -40. \] Y \[ (4q-200)^2 \Big|_{q=40} = (-40)^2 = 1600. \] 2. Calculemos \( N(40) \): \[ N(40)= 60(40) - 3(40)^2 = 2400 - 4800 = -2400. \] 3. Calculemos \( N'(40) \): \[ N'(40)=60 - 6(40) = 60 - 240 = -180. \] 4. Sustituimos en la fórmula de \( R'(q) \): \[ R'(40)= \frac{(-180)(-40) - (-2400)(4)}{1600}. \] Resolver cada término: - Primer término: \((-180)(-40) = 7200\). - Segundo término: \(-2400 \times 4 = -9600\). Entonces, al restar se tiene \[ 7200 - (-9600) = 7200 + 9600 = 16800. \] Por lo tanto, \[ R'(40)= \frac{16800}{1600} = 10.5. \] El ingreso marginal cuando se venden \( q=40 \) unidades es \( 10.5 \).