Caso 2: En el sistema climático de Siemens, la temperatura en un espacio está modelada como \( T(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}-z^{2} ¿ \) Cuál es el gradiente de temperatura \( \nabla T \) ? \( \nabla T=4 x i+2 y j-2 z k \) \( O \nabla T=4 x i+y j+z k \) \( \nabla T=2 x i+2 y j-z^{2} k \)

Para hallar el gradiente de temperatura \( \nabla T \), calculamos las derivadas parciales de \( T(x, y, z) \) con respecto a cada variable: 1. Derivada parcial con respecto a \( x \): \( \frac{\partial T}{\partial x} = 4x \) 2. Derivada parcial con respecto a \( y \): \( \frac{\partial T}{\partial y} = 2y \) 3. Derivada parcial con respecto a \( z \): \( \frac{\partial T}{\partial z} = -2z \) Por lo tanto, el gradiente de temperatura es \( \nabla T = 4x \, \hat{i} + 2y \, \hat{j} - 2z \, \hat{k} \). Así que la respuesta correcta es \( \nabla T = 4x \, \hat{i} + 2y \, \hat{j} - 2z \, \hat{k} \). ¿Sabías que el concepto de gradiente se utiliza no solo en física y matemáticas, sino también en otros campos como la economía? El gradiente puede ayudarnos a encontrar la dirección de mayor aumento en una función de beneficios o costos. ¡Es como seguir el camino hacia la mejor decisión! Para evitar errores comunes, asegúrate de revisar los signos en las derivadas parciales. A menudo, los estudiantes cometen el error de no prestar atención a las reglas de derivación. Si sientes que tus derivadas no tienen sentido, revisa tus cálculos paso a paso. ¡La precisión es clave!