Pregunta
upstudy study bank question image url

Caso 2: En el sistema climático de Siemens, la temperatura en un espacio está modelada como \( T(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}-z^{2} ¿ \) Cuál es el gradiente de temperatura \( \nabla T \) ? \( \nabla T=4 x i+2 y j-2 z k \) \( O \nabla T=4 x i+y j+z k \) \( \nabla T=2 x i+2 y j-z^{2} k \)

Ask by Bartlett Henry. in Mexico
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

El gradiente de temperatura \( \nabla T \) es \( 4x \, i + 2y \, j - 2z \, k \).

Solución

Para encontrar el gradiente de temperatura \( \nabla T \) de la función \( T(x, y, z) = 2x^2 + y^2 - z^2 \), debemos calcular las derivadas parciales de \( T \) con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \). El gradiente se define como: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right) i + \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) j + \left( \frac{\partial T}{\partial z} \right) k \] Ahora, calculemos cada una de las derivadas parciales: 1. **Derivada parcial con respecto a \( x \)**: \[ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + y^2 - z^2) = 4x \] 2. **Derivada parcial con respecto a \( y \)**: \[ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2 + y^2 - z^2) = 2y \] 3. **Derivada parcial con respecto a \( z \)**: \[ \frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2x^2 + y^2 - z^2) = -2z \] Ahora, combinamos estas derivadas parciales para formar el gradiente: \[ \nabla T = (4x) i + (2y) j + (-2z) k \] Por lo tanto, el gradiente de temperatura es: \[ \nabla T = 4x i + 2y j - 2z k \] La respuesta correcta es: \[ \nabla T = 4x i + 2y j - 2z k \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

error msg
Explicar
Simplifique esta solución

Bonus Knowledge

Para hallar el gradiente de temperatura \( \nabla T \), calculamos las derivadas parciales de \( T(x, y, z) \) con respecto a cada variable: 1. Derivada parcial con respecto a \( x \): \( \frac{\partial T}{\partial x} = 4x \) 2. Derivada parcial con respecto a \( y \): \( \frac{\partial T}{\partial y} = 2y \) 3. Derivada parcial con respecto a \( z \): \( \frac{\partial T}{\partial z} = -2z \) Por lo tanto, el gradiente de temperatura es \( \nabla T = 4x \, \hat{i} + 2y \, \hat{j} - 2z \, \hat{k} \). Así que la respuesta correcta es \( \nabla T = 4x \, \hat{i} + 2y \, \hat{j} - 2z \, \hat{k} \). ¿Sabías que el concepto de gradiente se utiliza no solo en física y matemáticas, sino también en otros campos como la economía? El gradiente puede ayudarnos a encontrar la dirección de mayor aumento en una función de beneficios o costos. ¡Es como seguir el camino hacia la mejor decisión! Para evitar errores comunes, asegúrate de revisar los signos en las derivadas parciales. A menudo, los estudiantes cometen el error de no prestar atención a las reglas de derivación. Si sientes que tus derivadas no tienen sentido, revisa tus cálculos paso a paso. ¡La precisión es clave!

preguntas relacionadas

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad