Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) \) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? \( \begin{array}{l}M=\int_{0}^{2} r d r \\ M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d \phi d \theta d r \\ M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin \theta d r d \theta d \phi\end{array} \)

Para calcular la masa de la esfera no uniforme con densidad \( \rho(r) = r \), se utiliza la integral en coordenadas esféricas. La fórmula adecuada para la masa de una esfera con densidad variable es: \[ M = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} \rho(r) \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] Sustituyendo la densidad, la integral se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] De este modo, la integral que se debe usar es la tercera opción. Para resolver el problema, es fundamental aplicar correctamente el método de integración en coordenadas esféricas. Un error común es olvidar el factor de \( \sin(\theta) \) en la integral, que proviene de la transformación de coordenadas. Este factor es crucial para obtener el volumen correcto al integrar respecto a los ángulos. ¡No te olvides de él!