Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función $$ ho(r)=r $$ (en $$ \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ight) $$ dentro de un radio $$ \mathrm{R}=2 $$ metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? $$ \begin{array}{l}M=\int_{0}^{2} r d r \ M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin heta d \phi d heta d r \ M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin heta d r d heta d \phi\end{array} $$

Question

Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función $$ ho(r)=r $$ (en $$ \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}ight) $$ dentro de un radio $$ \mathrm{R}=2 $$ metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? $$ \begin{array}{l}M=\int_{0}^{2} r d r \ M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin 	heta d \phi d 	heta d r \ M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin 	heta d r d 	heta d \phi\end{array} $$

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Para calcular el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función $$ \rho(r) = r $$, primero debemos encontrar la masa de la esfera utilizando la integral adecuada.

La masa $$ M $$ de un objeto con densidad variable se puede calcular mediante la siguiente integral en coordenadas esféricas:

$$
M = \int_{V} \rho \, dV
$$

Donde $$ dV $$ es el elemento de volumen en coordenadas esféricas, que se expresa como:

$$
dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
$$

Dado que la densidad $$ \rho(r) = r $$, la integral para la masa se convierte en:

$$
M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
$$

Simplificando, esto se convierte en:

$$
M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
$$

Por lo tanto, la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera es:

$$
M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi
$$

Ahora, procederé a calcular esta integral para encontrar la masa de la esfera.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } \int_{0}^{2} r^{3}\sin\left(\theta \right) dr d\theta d\phi$$
- step1: Evaluate the inner integral:
  $$\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } 4\sin\left(\theta \right) d\theta d\phi$$
- step2: Evaluate the inner integral:
  $$\int_{0}^{2\pi } 8 d\phi$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\int 8 d\phi$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$8\phi $$
- step5: Return the limits:
  $$\left(8\phi \right)\bigg |_{0}^{2\pi }$$
- step6: Calculate the value:
  $$16\pi $$
Al calcular la integral para la masa de la esfera, encontramos que:

$$
M = 16\pi \, \text{kg}
$$

Por lo tanto, la masa de la esfera no uniforme con densidad $$ \rho(r) = r $$ y un radio de $$ R = 2 $$ metros es $$ 16\pi $$ kilogramos.
Para calcular la masa de la esfera, se usa la integral: $$ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi $$ La masa de la esfera es $$ 16\pi $$ kg.

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