Pregunta
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Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) \) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? \( \begin{array}{l}M=\int_{0}^{2} r d r \\ M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d \phi d \theta d r \\ M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin \theta d r d \theta d \phi\end{array} \)

Ask by Hall Gibson. in Mexico
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Para calcular la masa de la esfera, se usa la integral: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] La masa de la esfera es \( 16\pi \) kg.

Solución

Para calcular el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r) = r \), primero debemos encontrar la masa de la esfera utilizando la integral adecuada. La masa \( M \) de un objeto con densidad variable se puede calcular mediante la siguiente integral en coordenadas esféricas: \[ M = \int_{V} \rho \, dV \] Donde \( dV \) es el elemento de volumen en coordenadas esféricas, que se expresa como: \[ dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Dado que la densidad \( \rho(r) = r \), la integral para la masa se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Simplificando, esto se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Por lo tanto, la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera es: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Ahora, procederé a calcular esta integral para encontrar la masa de la esfera. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } \int_{0}^{2} r^{3}\sin\left(\theta \right) dr d\theta d\phi\) - step1: Evaluate the inner integral: \(\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } 4\sin\left(\theta \right) d\theta d\phi\) - step2: Evaluate the inner integral: \(\int_{0}^{2\pi } 8 d\phi\) - step3: Evaluate the integral: \(\int 8 d\phi\) - step4: Evaluate the integral: \(8\phi \) - step5: Return the limits: \(\left(8\phi \right)\bigg |_{0}^{2\pi }\) - step6: Calculate the value: \(16\pi \) Al calcular la integral para la masa de la esfera, encontramos que: \[ M = 16\pi \, \text{kg} \] Por lo tanto, la masa de la esfera no uniforme con densidad \( \rho(r) = r \) y un radio de \( R = 2 \) metros es \( 16\pi \) kilogramos.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Bonus Knowledge

Para calcular la masa de la esfera no uniforme con densidad \( \rho(r) = r \), se utiliza la integral en coordenadas esféricas. La fórmula adecuada para la masa de una esfera con densidad variable es: \[ M = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} \rho(r) \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] Sustituyendo la densidad, la integral se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] De este modo, la integral que se debe usar es la tercera opción. Para resolver el problema, es fundamental aplicar correctamente el método de integración en coordenadas esféricas. Un error común es olvidar el factor de \( \sin(\theta) \) en la integral, que proviene de la transformación de coordenadas. Este factor es crucial para obtener el volumen correcto al integrar respecto a los ángulos. ¡No te olvides de él!

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