Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) \) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? \( \begin{array}{l}M=\int_{0}^{2} r d r \\ M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d \phi d \theta d r \\ M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin \theta d r d \theta d \phi\end{array} \)

Para calcular el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r) = r \), primero debemos encontrar la masa de la esfera utilizando la integral adecuada. La masa \( M \) de un objeto con densidad variable se puede calcular mediante la siguiente integral en coordenadas esféricas: \[ M = \int_{V} \rho \, dV \] Donde \( dV \) es el elemento de volumen en coordenadas esféricas, que se expresa como: \[ dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Dado que la densidad \( \rho(r) = r \), la integral para la masa se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Simplificando, esto se convierte en: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Por lo tanto, la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera es: \[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Ahora, procederé a calcular esta integral para encontrar la masa de la esfera. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } \int_{0}^{2} r^{3}\sin\left(\theta \right) dr d\theta d\phi\) - step1: Evaluate the inner integral: \(\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\pi } 4\sin\left(\theta \right) d\theta d\phi\) - step2: Evaluate the inner integral: \(\int_{0}^{2\pi } 8 d\phi\) - step3: Evaluate the integral: \(\int 8 d\phi\) - step4: Evaluate the integral: \(8\phi \) - step5: Return the limits: \(\left(8\phi \right)\bigg |_{0}^{2\pi }\) - step6: Calculate the value: \(16\pi \) Al calcular la integral para la masa de la esfera, encontramos que: \[ M = 16\pi \, \text{kg} \] Por lo tanto, la masa de la esfera no uniforme con densidad \( \rho(r) = r \) y un radio de \( R = 2 \) metros es \( 16\pi \) kilogramos.