5. a) \( g_{\mathrm{AB}}: \quad \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}3 \\ 6 \\ -3\end{array}\right) \) P liegt auf \( \overline{\mathrm{AB}}(0<\mathrm{r}=1 / 3<1) \) b) \( g_{\mathrm{AB}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4\end{array}\right) \) P liegt auf \( \overline{\mathrm{AB}}(0<\mathrm{r}=0,5<1) \) c) \( \mathrm{g}_{\mathrm{AB}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \) P liegt nicht auf \( \overline{\mathrm{AB}}(\mathrm{r}=4>1) \) d) \( \mathrm{g}_{\mathrm{AB}}: \quad \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}4 \\ 6 \\ -2\end{array}\right) \) P liegt nicht auf \( g \) (Wid.)

**a)** - Gegeben ist die Geradengleichung \[ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ -3\end{pmatrix}. \] - Für den Punkt \( P \) auf dem Streckenabschnitt \( \overline{AB} \) muss der Parameter \( r \) im Intervall \( (0,1) \) liegen. - Hier ist angegeben, dass \( r = \frac{1}{3} \), und da \[ 0 < \frac{1}{3} < 1, \] liegt \( P \) tatsächlich auf \( \overline{AB} \). **b)** - Gegeben ist die Geradengleichung \[ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-2 \\ 4 \\ 5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix}. \] - Auch hier muss für \( P \) auf \( \overline{AB} \) der Parameter \( r \) im Intervall \( (0,1) \) liegen. - Es ist angegeben, dass \( r = 0{,}5 \) gilt, und da \[ 0 < 0{,}5 < 1, \] liegt \( P \) auf \( \overline{AB} \). **c)** - Gegeben ist die Geradengleichung \[ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}. \] - Um zu überprüfen, ob der Punkt \( P \) auf dem Streckenabschnitt \( \overline{AB} \) liegt, müsste \( r \) im Intervall \( (0,1) \) liegen. - Es wird angegeben, dass \( r = 4 \) ist. Da \[ 4 > 1, \] liegt \( P \) nicht auf \( \overline{AB} \). **d)** - Gegeben ist die Geradengleichung \[ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}. \] - Hier wird explizit angegeben, dass \( P \) nicht auf \( g \) liegt (mit der Bemerkung „(Wid.)“). - Das bedeutet, dass es keinen Parameter \( r \) gibt, der den Punkt \( P \) korrekt auf dieser Geraden repräsentiert. - Somit liegt \( P \) nicht auf der Geraden \( g_{\mathrm{AB}} \).