5. a) \( g_{\mathrm{AB}}: \quad \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}3 \\ 6 \\ -3\end{array}\right) \) P liegt auf \( \overline{\mathrm{AB}}(0<\mathrm{r}=1 / 3<1) \) b) \( g_{\mathrm{AB}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4\end{array}\right) \) P liegt auf \( \overline{\mathrm{AB}}(0<\mathrm{r}=0,5<1) \) c) \( \mathrm{g}_{\mathrm{AB}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 7\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \) P liegt nicht auf \( \overline{\mathrm{AB}}(\mathrm{r}=4>1) \) d) \( \mathrm{g}_{\mathrm{AB}}: \quad \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{c}4 \\ 6 \\ -2\end{array}\right) \) P liegt nicht auf \( g \) (Wid.)

Wusstest du, dass die parametrische Darstellung von Geraden in der Mathematik eine wichtige Rolle spielt, um geometrische Probleme zu lösen? Die Darstellungen, wie die oben genannten, ermöglichen es uns, Punkte auf einer Linie zu finden, indem wir die Parameter anpassen. Indem wir verschiedene Werte für \( r \) einsetzen, können wir jeden Punkt auf der Geraden bestimmen und so die Beziehung zwischen den Vektoren und der Geometrie besser verstehen! Ein häufiger Fehler bei der Arbeit mit solchen Gleichungen ist, dass man die Werte von \( r \) nicht richtig interpretiert. Zum Beispiel, wenn du \( r = 4 \) hast, wird \( P \) nicht auf der Strecke zwischen \( A \) und \( B \) liegen, da \( r \) größer als 1 ist. Achte darauf, die Bedingungen \( 0 < r < 1 \) genau zu verstehen, denn sie bestimmen, ob der Punkt auf der Strecke oder außerhalb liegt. Ein guter Tipp ist, immer zu überprüfen, ob dein Wert für \( r \) innerhalb dieses Bereichs liegt, bevor du sicherstellst, wo der Punkt liegt!