Terifica che it triangolo di vertici \( A(-1 ;-3,1), B(-1,2,1), C\left(2:-\frac{1}{2} ; 3\right) \) cisoscele e calcola larca.

**Calcolo delle distanze tra i vertici** I vertici del triangolo sono \[ A=(-1,-3,1),\quad B=(-1,2,1),\quad C=\left(2,-\frac{1}{2},3\right) \] 1. **Lunghezza \( AB \):** \[ \vec{AB} = B-A = \left(-1-(-1),\; 2-(-3),\; 1-1\right) = (0,\,5,\,0) \] \[ AB = \sqrt{0^2+5^2+0^2} = \sqrt{25} = 5 \] 2. **Lunghezza \( AC \):** \[ \vec{AC} = C-A = \left(2-(-1),\; -\frac{1}{2}-(-3),\; 3-1\right) = \left(3,\; \frac{5}{2},\; 2\right) \] \[ AC = \sqrt{3^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2+2^2} = \sqrt{9+\frac{25}{4}+4} \] \[ 9+4 = 13\quad\Rightarrow\quad AC = \sqrt{\frac{52}{4}+\frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{77}{4}} = \frac{\sqrt{77}}{2} \] 3. **Lunghezza \( BC \):** \[ \vec{BC} = C-B = \left(2-(-1),\; -\frac{1}{2}-2,\; 3-1\right) = \left(3,\; -\frac{5}{2},\; 2\right) \] \[ BC = \sqrt{3^2+\left(-\frac{5}{2}\right)^2+2^2} = \sqrt{9+\frac{25}{4}+4} = \frac{\sqrt{77}}{2} \] **Verifica del triangolo isoscele** Osservando le lunghezze, si ha: \[ AB=5,\quad AC=BC=\frac{\sqrt{77}}{2} \] Poiché due lati sono uguali (\(AC = BC\)), il triangolo è **isoscele** con base \( AB \). --- **Calcolo dell'area del triangolo** Utilizziamo la formula dell'area tramite il prodotto vettoriale: \[ \text{Area} = \frac{1}{2}\|\vec{AB} \times \vec{AC}\| \] Calcoliamo i vettori: \[ \vec{AB} = (0,\,5,\,0),\quad \vec{AC} = \left(3,\;\frac{5}{2},\,2\right) \] Il prodotto vettoriale \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) è dato da: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & \frac{5}{2} & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}\Bigl(5\cdot2-0\cdot\frac{5}{2}\Bigr) - \mathbf{j}\Bigl(0\cdot2-0\cdot3\Bigr) + \mathbf{k}\Bigl(0\cdot\frac{5}{2}-5\cdot3\Bigr) \] \[ = \mathbf{i}(10) - \mathbf{j}(0) - \mathbf{k}(15) = (10,\,0,\,-15) \] Calcoliamo la norma: \[ \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \sqrt{10^2+0^2+(-15)^2} = \sqrt{100+225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \] Quindi, l'area è: \[ \text{Area} = \frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{13} = \frac{5\sqrt{13}}{2} \] --- **Risultato** Il triangolo di vertici \[ A=(-1,-3,1),\quad B=(-1,2,1),\quad C=\left(2,-\frac{1}{2},3\right) \] è **isoscele** (con \(AC = BC\)) e la sua area è \[ \frac{5\sqrt{13}}{2}. \]