\( \begin{array}{l}\text { Determina el signo de } \\ \text { gundo cuadrante, } \beta \text { est } \\ \text { en el segundo cuadran } \\ \text { 21. } \cos \alpha+\tan \beta-\operatorname{sen} \alpha \\ \text { 22. } \frac{\csc \alpha \cot \theta \cos \theta}{\operatorname{sen} \alpha \tan \theta \cos \beta} \\ \text { 23. }(\operatorname{sen} \alpha+\cos \beta-\tan \theta \\ \text { 24. } \operatorname{sen} 1^{\circ}+\operatorname{sen} 2^{\circ}+\operatorname{sen} 3\end{array} \)

Se nos pide “determinar el signo” de varias expresiones, sabiendo que β está en el segundo cuadrante. En este cuadrante se verifican que  • sen β > 0  • cos β < 0  • tan β = sen β/cos β < 0 En muchos de estos ejercicios se asume (a menos que se indique lo contrario) que los ángulos α y θ son agudos (es decir, que se miden en el primer cuadrante) y, por tanto, que sus funciones trigonométricas son positivas. A continuación, analicemos cada uno de los ítems: ──────────────────────────── 21. cos α + tan β – sen α – cos α es positivo (suponiendo α agudo). – tan β es negativo (ya que β está en QII). – sen α es positivo (para α agudo). Por tanto la suma es:   positivo + (negativo) – positivo. Dado que la magnitud de tan β y de sen α varían con el ángulo, no podemos asegurar de antemano si la expresión completa es mayor, menor o igual a cero. Es decir, el signo de esta expresión es indeterminado sin conocer los valores específicos. ──────────────────────────── 22. (csc α · cot θ · cos θ) / (sen α · tan θ · cos β) Recordemos que:   csc α = 1/sen α, cot θ = cos θ/sen θ, tan θ = sen θ/cos θ. Asumiendo que α y θ están en el primer cuadrante, se tiene:  • sen α > 0, cos θ > 0, sen θ > 0, tan θ > 0. Además, ya sabemos que cos β < 0. Observemos el signo de cada factor: Numerador:  – csc α > 0  – cot θ > 0  – cos θ > 0  → Numerador: positivo. Denominador:  – sen α > 0  – tan θ > 0  – cos β < 0  → Denominador: positivo · positivo · negativo = negativo. Por tanto, el cociente es positivo/negativo, es decir, negativo. ──────────────────────────── 23. sen α + cos β – tan θ Con α y θ en el primer cuadrante:  – sen α > 0  – tan θ > 0 Y como β en el segundo:  – cos β < 0 La expresión se puede ver como:   (positivo) + (negativo) – (positivo) o, equivalentemente,   sen α – tan θ + cos β. Dado que dependemos de las magnitudes relativas de sen α, tan θ y |cos β|, el signo global de la expresión no se puede determinar sin información adicional; es, en general, indeterminado. ──────────────────────────── 24. sen 1° + sen 2° + sen 3° Aquí los ángulos son muy pequeños (y, en particular, están en el primer cuadrante), por lo que sus senos son positivos.   sen 1° > 0, sen 2° > 0, sen 3° > 0 la suma de tres números positivos es positiva. ──────────────────────────── Respuesta final: 21. La expresión cos α + tan β – sen α tiene signo indeterminado sin valores numéricos específicos. 22. La expresión (csc α · cot θ · cos θ)/(sen α · tan θ · cos β) es NEGATIVA. 23. La expresión sen α + cos β – tan θ tiene signo indeterminado sin conocer los valores particulares de los ángulos. 24. La expresión sen 1° + sen 2° + sen 3° es POSITIVA. Cualquier respuesta que argumente de forma equivalente es correcta.