Si $$ \mathrm{P}(x-1)=\frac{x+2}{x} $$ y $$ \mathrm{P}[\mathrm{G}(x)]=\frac{x}{x-2} $$, evalúe $$ \mathrm{G}(7) $$

Question

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1. Se tiene que 
   $$
   P(x-1)=\frac{x+2}{x}.
   $$
   Para obtener $$P(t)$$ en función de $$t$$, se hace el cambio de variable $$t=x-1$$, de donde se tiene $$x=t+1$$. Entonces,
   $$
   P(t)=P(x-1)=\frac{(t+1)+2}{t+1}=\frac{t+3}{t+1}.
   $$

2. Además, se nos da que
   $$
   P[G(x)]=\frac{x}{x-2}.
   $$
   Sustituyendo en función de la fórmula de $$P$$, se tiene:
   $$
   P[G(x)] = \frac{G(x)+3}{G(x)+1} = \frac{x}{x-2}.
   $$

3. Para encontrar $$G(x)$$, igualamos y resolvemos la ecuación:
   $$
   \frac{G(x)+3}{G(x)+1} = \frac{x}{x-2}.
   $$
   Se procede a multiplicar en cruz:
   $$
   (G(x)+3)(x-2)= x\,(G(x)+1).
   $$

4. Se expanden ambos lados:
   $$
   G(x)x - 2G(x) + 3x - 6 = x\,G(x) + x.
   $$

5. Se observa que $$x\,G(x)$$ aparece en ambos lados, por lo que al restarlos se elimina:
   $$
   -2G(x) + 3x - 6 = x.
   $$

6. Se despeja $$G(x)$$:
   $$
   -2G(x)= x - 3x + 6 \quad \Longrightarrow \quad -2G(x)= -2x + 6.
   $$
   Dividiendo ambos lados por $$-2$$:
   $$
   G(x)= x - 3.
   $$

7. Finalmente, evaluando en $$x=7$$:
   $$
   G(7)= 7-3= 4.
   $$
$$ G(7) = 4 $$

Si \( \mathrm{P}(x-1)=\frac{x+2}{x} \) y \( \mathrm{P}[\mathrm{G}(x)]=\frac{x}{x-2} \), evalúe \( \mathrm{G}(7) \)

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