Si \( \mathrm{P}(x-1)=\frac{x+2}{x} \) y \( \mathrm{P}[\mathrm{G}(x)]=\frac{x}{x-2} \), evalúe \( \mathrm{G}(7) \)

Primero vamos a despejar \( \mathrm{P}(x) \) a partir de la ecuación dada: \[ \mathrm{P}(x-1) = \frac{x+2}{x} \] Si definimos \( y = x - 1 \), entonces \( x = y + 1 \). Reemplazando en la expresión: \[ \mathrm{P}(y) = \frac{(y + 1) + 2}{y + 1} = \frac{y + 3}{y + 1} \] Ahora, tenemos \( \mathrm{P}(x) = \frac{x + 3}{x + 1} \). Ahora, sustituyamos \( \mathrm{P}(x) \) en la segunda ecuación: \[ \mathrm{P}[\mathrm{G}(x)] = \frac{x}{x-2} \] Por lo tanto, necesitamos encontrar \( \mathrm{G}(x) \) tal que: \[ \frac{\mathrm{G}(x) + 3}{\mathrm{G}(x) + 1} = \frac{x}{x-2} \] Multiplicamos cruzado: \[ (\mathrm{G}(x) + 3)(x - 2) = \mathrm{G}(x) + 1 \cdot x \] Esto se simplifica a: \[ \mathrm{G}(x)x - 2\mathrm{G}(x) + 3x - 6 = \mathrm{G}(x) + x \] Agrupando todos los términos con \( \mathrm{G}(x) \): \[ \mathrm{G}(x)x - 2\mathrm{G}(x) - \mathrm{G}(x) = x - 3x + 6 \] \[ \mathrm{G}(x)(x - 3) = -2x + 6 \] Despejamos \( \mathrm{G}(x) \): \[ \mathrm{G}(x) = \frac{-2x + 6}{x - 3} \] Ahora evaluamos \( \mathrm{G}(7) \): \[ \mathrm{G}(7) = \frac{-2(7) + 6}{7 - 3} = \frac{-14 + 6}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] Por lo tanto, el valor de \( \mathrm{G}(7) \) es \( \boxed{-2} \).