Dada la función definida implicitamente: \( 8 \cdot x \cdot y+-21 \cdot x^{4} \cdot y^{2}=\frac{3}{4} \) Entonces, \( \frac{d y}{d x}= \) Respuesta:

Soit la fonction définie implicitement par \[ 8xy - 21x^4y^2 = \frac{3}{4}. \] Nous voulons trouver \(\frac{dy}{dx}\). **Étape 1 : Différencier chaque terme par rapport à \( x \)** Dérivons terme à terme la relation : 1. Pour le terme \(8xy\), on utilise la règle du produit : \[ \frac{d}{dx}(8xy) = 8\left(y + x\frac{dy}{dx}\right). \] 2. Pour le terme \(-21x^4y^2\), on applique également la règle du produit : \[ \frac{d}{dx}\left(-21x^4y^2\right) = -21\left(\frac{d}{dx}(x^4)y^2 + x^4\frac{d}{dx}(y^2)\right). \] Calculons les dérivées internes : - \(\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3\), - \(\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}\). Ainsi, \[ \frac{d}{dx}\left(-21x^4y^2\right) = -21\left(4x^3y^2 + 2x^4y\frac{dy}{dx}\right) = -84x^3y^2 - 42x^4 y \frac{dy}{dx}. \] Le côté droit \(\frac{3}{4}\) est constant, donc sa dérivée est \(0\). **Étape 2 : Écrire l'équation dérivée** En combinant les résultats, nous obtenons : \[ 8\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) - 84x^3y^2 - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 0. \] Développons le premier terme : \[ 8y + 8x\frac{dy}{dx} - 84x^3y^2 - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 0. \] **Étape 3 : Regrouper les termes contenant \(\frac{dy}{dx}\) et isoler \(\frac{dy}{dx}\)** Regroupons les termes avec \(\frac{dy}{dx}\) d’un côté : \[ 8x\frac{dy}{dx} - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 84x^3y^2 - 8y. \] Factorisons \(\frac{dy}{dx}\) : \[ \frac{dy}{dx}\left(8x - 42x^4y\right) = 84x^3y^2 - 8y. \] **Étape 4 : Résoudre pour \(\frac{dy}{dx}\)** Divisons par \(8x - 42x^4y\) (en supposant \(8x - 42x^4y \neq 0\)) : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{84x^3y^2 - 8y}{8x - 42x^4y}. \] **Étape 5 : Simplifier (facultatif)** On peut simplifier en factorisant \(2\) au numérateur et au dénominateur : Numérateur : \[ 84x^3y^2 - 8y = 2(42x^3y^2 - 4y), \] Dénominateur : \[ 8x - 42x^4y = 2(4x - 21x^4y). \] Après annulation du facteur \(2\), on obtient : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{42x^3y^2 - 4y}{4x - 21x^4y}. \] **Réponse finale :** \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{42x^3y^2 - 4y}{4x - 21x^4y}} \]