Dada la función definida implicitamente: $$ 8 \cdot x \cdot y+-21 \cdot x^{4} \cdot y^{2}=\frac{3}{4} $$ Entonces, $$ \frac{d y}{d x}= $$ Respuesta:

Question

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Soit la fonction définie implicitement par

$$
8xy - 21x^4y^2 = \frac{3}{4}.
$$

Nous voulons trouver $$\frac{dy}{dx}$$.

**Étape 1 : Différencier chaque terme par rapport à $$ x $$**

Dérivons terme à terme la relation :

1. Pour le terme $$8xy$$, on utilise la règle du produit :

$$
\frac{d}{dx}(8xy) = 8\left(y + x\frac{dy}{dx}\right).
$$

2. Pour le terme $$-21x^4y^2$$, on applique également la règle du produit :

$$
\frac{d}{dx}\left(-21x^4y^2\right) = -21\left(\frac{d}{dx}(x^4)y^2 + x^4\frac{d}{dx}(y^2)\right).
$$

Calculons les dérivées internes :

- $$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$$,
- $$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$$.

Ainsi,

$$
\frac{d}{dx}\left(-21x^4y^2\right) = -21\left(4x^3y^2 + 2x^4y\frac{dy}{dx}\right) = -84x^3y^2 - 42x^4 y \frac{dy}{dx}.
$$

Le côté droit $$\frac{3}{4}$$ est constant, donc sa dérivée est $$0$$.

**Étape 2 : Écrire l'équation dérivée**

En combinant les résultats, nous obtenons :

$$
8\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) - 84x^3y^2 - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 0.
$$

Développons le premier terme :

$$
8y + 8x\frac{dy}{dx} - 84x^3y^2 - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 0.
$$

**Étape 3 : Regrouper les termes contenant $$\frac{dy}{dx}$$ et isoler $$\frac{dy}{dx}$$**

Regroupons les termes avec $$\frac{dy}{dx}$$ d’un côté :

$$
8x\frac{dy}{dx} - 42x^4y\frac{dy}{dx} = 84x^3y^2 - 8y.
$$

Factorisons $$\frac{dy}{dx}$$ :

$$
\frac{dy}{dx}\left(8x - 42x^4y\right) = 84x^3y^2 - 8y.
$$

**Étape 4 : Résoudre pour $$\frac{dy}{dx}$$**

Divisons par $$8x - 42x^4y$$ (en supposant $$8x - 42x^4y \neq 0$$) :

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{84x^3y^2 - 8y}{8x - 42x^4y}.
$$

**Étape 5 : Simplifier (facultatif)**

On peut simplifier en factorisant $$2$$ au numérateur et au dénominateur :

Numérateur :

$$
84x^3y^2 - 8y = 2(42x^3y^2 - 4y),
$$

Dénominateur :

$$
8x - 42x^4y = 2(4x - 21x^4y).
$$

Après annulation du facteur $$2$$, on obtient :

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{42x^3y^2 - 4y}{4x - 21x^4y}.
$$

**Réponse finale :**

$$
\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{42x^3y^2 - 4y}{4x - 21x^4y}}
$$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{42x^3y^2 - 4y}{4x - 21x^4y} $$

Dada la función definida implicitamente: \( 8 \cdot x \cdot y+-21 \cdot x^{4} \cdot y^{2}=\frac{3}{4} \) Entonces, \( \frac{d y}{d x}= \) Respuesta: