Encuentre el area de la región que esta bajo la grafica de f sobre el intervalo dado $$ f(x)=x+6 x^{2} \quad[1,4] $$

Question

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1. Se desea encontrar el área bajo la gráfica de $$ f(x)=x+6x^2 $$ en el intervalo $$[1,4]$$. Esta área se obtiene evaluando la integral definida:
   
   $$
   A=\int_{1}^{4} \left( x+6x^2 \right)dx.
   $$

2. Calculemos la integral indefinida. Utilizando la linealidad de la integral:

$$
   \int \left( x+6x^2 \right)dx = \int x\, dx + 6\int x^2\, dx.
   $$

Recordando que:
   
   $$
   \int x\,dx=\frac{x^2}{2} \quad \text{y} \quad \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3},
   $$
   
   se tiene:
   
   $$
   \int \left( x+6x^2 \right)dx = \frac{x^2}{2} +6\left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{x^2}{2}+2x^3.
   $$

3. Ahora evaluamos la integral definida desde $$ x=1 $$ hasta $$ x=4 $$:

$$
   A=\left[\frac{x^2}{2}+2x^3\right]_{1}^{4} = \left(\frac{4^2}{2}+2\cdot 4^3\right)-\left(\frac{1^2}{2}+2\cdot 1^3\right).
   $$

4. Sustituyendo los valores:

- En $$ x=4 $$:
     
     $$
     \frac{4^2}{2}+2\cdot 4^3 = \frac{16}{2}+2\cdot 64 = 8+128=136.
     $$
     
   - En $$ x=1 $$:
   
     $$
     \frac{1^2}{2}+2\cdot 1^3 = \frac{1}{2}+2= \frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}.
     $$
     
5. Finalmente, el área es:

$$
   A=136-\frac{5}{2}=\frac{272}{2}-\frac{5}{2}=\frac{267}{2}.
   $$

Por lo tanto, el área de la región es $$\frac{267}{2}$$.
El área bajo la gráfica de $$ f(x)=x+6x^2 $$ en el intervalo $$[1,4]$$ es $$\frac{267}{2}$$.

Encuentre el area de la región que esta bajo la grafica de f sobre el intervalo dado \( f(x)=x+6 x^{2} \quad[1,4] \)

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