Encuentre el area de la región que esta bajo la grafica de f sobre el intervalo dado \( f(x)=x+6 x^{2} \quad[1,4] \)

1. Se desea encontrar el área bajo la gráfica de \( f(x)=x+6x^2 \) en el intervalo \([1,4]\). Esta área se obtiene evaluando la integral definida: \[ A=\int_{1}^{4} \left( x+6x^2 \right)dx. \] 2. Calculemos la integral indefinida. Utilizando la linealidad de la integral: \[ \int \left( x+6x^2 \right)dx = \int x\, dx + 6\int x^2\, dx. \] Recordando que: \[ \int x\,dx=\frac{x^2}{2} \quad \text{y} \quad \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}, \] se tiene: \[ \int \left( x+6x^2 \right)dx = \frac{x^2}{2} +6\left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{x^2}{2}+2x^3. \] 3. Ahora evaluamos la integral definida desde \( x=1 \) hasta \( x=4 \): \[ A=\left[\frac{x^2}{2}+2x^3\right]_{1}^{4} = \left(\frac{4^2}{2}+2\cdot 4^3\right)-\left(\frac{1^2}{2}+2\cdot 1^3\right). \] 4. Sustituyendo los valores: - En \( x=4 \): \[ \frac{4^2}{2}+2\cdot 4^3 = \frac{16}{2}+2\cdot 64 = 8+128=136. \] - En \( x=1 \): \[ \frac{1^2}{2}+2\cdot 1^3 = \frac{1}{2}+2= \frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}. \] 5. Finalmente, el área es: \[ A=136-\frac{5}{2}=\frac{272}{2}-\frac{5}{2}=\frac{267}{2}. \] Por lo tanto, el área de la región es \(\frac{267}{2}\).