2. \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomları için, der \( \left[3 \cdot P^{2}(x) \cdot Q^{3}(2 x)\right]=7 \) \( \operatorname{der}\left[P\left(x^{3}\right): Q^{2}\left(x^{2}\right)\right]=2 \) olduğuna göre, \( \operatorname{der}[P(x)-Q(x)]= \) ? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 & \text { D) } 5\end{array} \quad \) E) 7

Verilen fonksiyonların türevini kullanarak çözümlememize başlayalım. İlk denkleme göre, \( \left[3 \cdot P^{2}(x) \cdot Q^{3}(2x)\right] = 7 \) eşitliğinden, polinomun belirli noktalarındaki değerleri kullanabiliriz. Bu durumda, belirsiz olan \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının derecelerini daha iyi anlamak için bu ifadeyi türev almayı deneyelim. İkinci denklemden \( \operatorname{der}[P(x^{3}): Q^{2}(x^{2})] = 2 \) ifadesini türevledikten sonra, her iki polinomun derecelerindeki ilişkiyi görebiliriz. İki denklemi birleştirip analiz edersek, üst miktarları ve polinomların birbirine oranı üzerinden, \( P(x) - Q(x) \)’nin türevini617lerden \( 1, 2, 3, 5 ve 7 \) seçeneğinden biri olacağını görebiliriz. Ancak net hesaplamalar yapmadan kesin bir sonuç veremeyiz. Polinom türevlerinin toplam dereceleri bize belirli bir sonuç verecek. Eğer tüm türevleri mantıklı bir şekilde hesapladıysak, \( \operatorname{der}[P(x) - Q(x)] = 2 \) sonucuna ulaşabiliriz. Dolayısıyla doğru cevap B seçeneğidir yani \( \operatorname{der}[P(x) - Q(x)] = 2 \).