2. \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomları için, der \( \left[3 \cdot P^{2}(x) \cdot Q^{3}(2 x)\right]=7 \) \( \operatorname{der}\left[P\left(x^{3}\right): Q^{2}\left(x^{2}\right)\right]=2 \) olduğuna göre, \( \operatorname{der}[P(x)-Q(x)]= \) ? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 & \text { D) } 5\end{array} \quad \) E) 7

Verilen bilgilerde, P(x) ve Q(x) polinomlarının derecelerini (p ve q) bulmamız isteniyor. 1. İfadeye bakalım:   3·[P(x)]²·[Q(2x)]³ P(x)'in derecesi p, Q(x)'in derecesi q olduğuna göre:   P(x)²'nin derecesi 2p,   Q(2x)'in derecesi q (çarpan sabit olmadığı için derece değişmez) → [Q(2x)]³'ün derecesi 3q. Dolayısıyla ürünün derecesi: 2p + 3q = 7 … (1) 2. Diğer ifadeye bakalım:   P(x³) : Q²(x²) yani P(x³) / [Q(x²)]² P(x) polinomunun x³ ile yapılmış bileşiğinin derecesi 3p (çünkü en yüksek terim x^p yerine (x³)^p = x^(3p) verir), Q(x²) polinomunun derecesi 2q, bu ifadenin karesi ise 2·(2q) = 4q. Dolayısıyla bölümün derecesi: 3p - 4q = 2 … (2) (1) ve (2) denklemlerini çözelim:   2p + 3q = 7    (1)   3p - 4q = 2    (2) (1)’den 2p = 7 - 3q → p = (7 - 3q)/2 Bunu (2)’ye yerine koyarsak:   3[(7 - 3q)/2] - 4q = 2   (21 - 9q)/2 - 4q = 2 Her iki tarafı 2 ile çarpalım:   21 - 9q - 8q = 4 → 21 - 17q = 4   17q = 21 - 4 = 17 → q = 1 p'yi bulalım:   p = (7 - 3·1)/2 = (7 - 3)/2 = 4/2 = 2 Böylece:   deg(P(x)) = p = 2, deg(Q(x)) = q = 1 Soru, P(x) - Q(x) polinomunun derecesini soruyor. Genel durumda, P(x)'in derecesi 2 olduğu için, Q(x)'in derecesi 1 olduğundan, P(x) - Q(x) polinomunun derecesi en yüksek dereceli terimin (2. dereceden) kaybolmadığı varsayımıyla 2 olur. Dolayısıyla cevap: 2. Cevap şıkları içinde B şıkkı 2’ye karşılık gelmektedir.