2. Simplifica las siguientes sumatorias. a. \( \sum_{i=1}^{10} 2 i+1 \) b. \( \sum_{m=5}^{15}(-m) \) c. \( \sum_{j=1}^{8} 2^{(j-1)} \) d. \( \sum_{k=1}^{6}\left(2 k-\frac{1}{2} k\right) \) e. \( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2 i) \)

Para simplificar las sumatorias, vamos a hacerlo paso a paso. a. \( \sum_{i=1}^{10} (2i + 1) \) Esto es una suma de una serie aritmética. Primero, notemos que: \[ \sum_{i=1}^{10} (2i + 1) = \sum_{i=1}^{10} 2i + \sum_{i=1}^{10} 1 = 2 \sum_{i=1}^{10} i + 10 \] La suma de los primeros \(n\) números es \(\frac{n(n + 1)}{2}\), por lo que: \[ \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10 + 1)}{2} = 55 \] Sustituyendo: \[ = 2(55) + 10 = 110 + 10 = 120 \] b. \( \sum_{m=5}^{15} (-m) \) Esto es lo mismo que calcular: \[ -(\sum_{m=5}^{15} m) \] La suma de \(m\) de 5 a 15 es otra serie aritmética: \[ \sum_{m=5}^{15} m = \frac{n}{2} (a + l) \] donde \(n = 15 - 5 + 1 = 11\), \(a = 5\) y \(l = 15\): \[ = \frac{11}{2} (5 + 15) = \frac{11}{2} \cdot 20 = 110 \] Así que: \[ \sum_{m=5}^{15} (-m) = -110 \] c. \( \sum_{j=1}^{8} 2^{(j-1)} \) Esto es una serie geométrica donde \(a = 1\) y \(r = 2\): \[ S = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = 1 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = \frac{1 - 256}{-1} = 255 \] d. \( \sum_{k=1}^{6} \left(2k - \frac{1}{2}k\right) \) Simplificamos la expresión dentro de la sumatoria: \[ 2k - \frac{1}{2}k = \frac{4k}{2} - \frac{1}{2}k = \frac{3k}{2} \] Entonces: \[ \sum_{k=1}^{6} \frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{6} k = \frac{3}{2} \cdot 21 = 31.5 \] e. \( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2i) \) Esto se puede simplificar como: \[ \frac{2}{n(n + 1)} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{2}{n(n + 1)} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 1 \] Por lo tanto, las respuestas simplificadas son: a. 120 b. -110 c. 255 d. 31.5 e. 1