2. Simplifica las siguientes sumatorias. a. $$ \sum_{i=1}^{10} 2 i+1 $$ b. $$ \sum_{m=5}^{15}(-m) $$ c. $$ \sum_{j=1}^{8} 2^{(j-1)} $$ d. $$ \sum_{k=1}^{6}\left(2 k-\frac{1}{2} k\right) $$ e. $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2 i) $$

Question

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**a. Simplificar $$\sum_{i=1}^{10} (2i+1)$$**

1. Se puede separar la sumatoria:
   $$
   \sum_{i=1}^{10} (2i+1) = \sum_{i=1}^{10} 2i + \sum_{i=1}^{10} 1
   $$
2. Sacar la constante fuera de la sumatoria:
   $$
   = 2\sum_{i=1}^{10} i + 10
   $$
3. Utilizar la fórmula de la suma de los primeros $$10$$ números naturales:
   $$
   \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55
   $$
4. Sustituir:
   $$
   2\cdot55 + 10 = 110 + 10 = 120
   $$

---

**b. Simplificar $$\sum_{m=5}^{15} (-m)$$**

1. Se puede factorizar el signo negativo:
   $$
   \sum_{m=5}^{15} (-m) = -\sum_{m=5}^{15} m
   $$
2. La suma de los enteros de $$5$$ a $$15$$ se calcula como:
   $$
   \sum_{m=5}^{15} m = \frac{(15-5+1)(5+15)}{2} = \frac{11\cdot20}{2} = 110
   $$
3. Aplicando el signo negativo:
   $$
   -110
   $$

---

**c. Simplificar $$\sum_{j=1}^{8} 2^{(j-1)}$$**

1. Observar que la sumatoria es una serie geométrica con:
   - Primer término: $$a = 2^{0} = 1$$
   - Razón: $$r = 2$$
   - Número de términos: $$8$$
2. La suma de una serie geométrica es:
   $$
   S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}
   $$
3. Sustituir los valores:
   $$
   S_8 = \frac{1(2^8-1)}{2-1} = 2^8-1 = 256-1 = 255
   $$

---

**d. Simplificar $$\sum_{k=1}^{6}\left(2k-\frac{1}{2} k\right)$$**

1. Simplificar la expresión dentro de la sumatoria:
   $$
   2k - \frac{1}{2}k = \frac{4k}{2} - \frac{k}{2} = \frac{3k}{2}
   $$
2. Extraer la constante:
   $$
   \sum_{k=1}^{6} \frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{6} k
   $$
3. Calcular la suma de los primeros $$6$$ naturales:
   $$
   \sum_{k=1}^{6} k = \frac{6\cdot7}{2} = 21
   $$
4. Multiplicar:
   $$
   \frac{3}{2}\cdot21 = \frac{63}{2}
   $$

---

**e. Simplificar $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2i)$$**

1. Sacar la constante fuera de la sumatoria:
   $$
   \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{n} i
   $$
2. Utilizar la fórmula de la suma de los primeros $$n$$ naturales:
   $$
   \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}
   $$
3. Sustituir:
   $$
   \frac{2}{n(n+1)}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = 1
   $$

---

**Respuestas Finales:**

a. $$120$$  
b. $$-110$$  
c. $$255$$  
d. $$\frac{63}{2}$$  
e. $$1$$
a. 120 b. -110 c. 255 d. 31.5 e. 1

2. Simplifica las siguientes sumatorias. a. \( \sum_{i=1}^{10} 2 i+1 \) b. \( \sum_{m=5}^{15}(-m) \) c. \( \sum_{j=1}^{8} 2^{(j-1)} \) d. \( \sum_{k=1}^{6}\left(2 k-\frac{1}{2} k\right) \) e. \( \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}(2 i) \)

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