2. Considere la función \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { si } 3

Ask by Johnston Bernard. in Mexico

Feb 22,2025

Para probar que la función \( f(x) \) es integrable en el intervalo \( [0, 10] \), utilizaremos el criterio de integrabilidad de Lebesgue, que establece que una función es integrable si es acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero. 1. **Definición de la función**: La función \( f(x) \) está definida como: \[ f(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } 3 < x < 6 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] 2. **Comportamiento de la función**: - En el intervalo \( (3, 6) \), la función toma el valor 1. - En el resto del intervalo \( [0, 10] \), la función toma el valor 0. 3. **Conjunto de discontinuidades**: La función \( f(x) \) es continua en todos los puntos de \( [0, 10] \) excepto en los puntos \( x = 3 \) y \( x = 6 \). Estos son los únicos puntos donde la función cambia de valor. Por lo tanto, el conjunto de discontinuidades es \( \{3, 6\} \), que tiene medida cero. 4. **Acotación de la función**: La función \( f(x) \) está acotada, ya que toma solo los valores 0 y 1. Por lo tanto, podemos decir que: \[ 0 \leq f(x) \leq 1 \quad \text{para todo } x \in [0, 10] \] 5. **Conclusión**: Dado que \( f(x) \) es acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero, podemos concluir que \( f(x) \) es integrable en el intervalo \( [0, 10] \). Por lo tanto, hemos probado que la función \( f \) es integrable en \( [0, 10] \).