Sea la función \( f(x, y, z)=x y z+\sin (x y)-e^{x z} \) Calcula la derivada parcial mixta \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \)

Para hallar la derivada parcial mixta \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \) de la función \[ f(x,y,z) = x y z + \sin(xy) - e^{xz}, \] seguimos los siguientes pasos: 1. **Derivada parcial con respecto a \( y \):** - La derivada de \( x y z \) con respecto a \( y \) es: \[ \frac{\partial}{\partial y}(xyz) = xz. \] - Para \( \sin(xy) \), aplicamos la regla de la cadena: \[ \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) = \cos(xy) \cdot \frac{\partial (xy)}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x. \] - La función \( -e^{xz} \) no depende de \( y \), por lo tanto: \[ \frac{\partial}{\partial y}(-e^{xz}) = 0. \] Sumando estos resultados obtenemos: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = xz + x\cos(xy) = x(z + \cos(xy)). \] 2. **Derivada parcial de \(\frac{\partial f}{\partial y}\) con respecto a \( x \):** Partimos de \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x(z + \cos(xy)). \] Aplicamos la regla del producto, considerando \( u(x) = x \) y \( v(x) = z + \cos(xy) \): - La derivada de \( u(x) = x \) es: \[ u'(x) = 1. \] - Para \( v(x) = z + \cos(xy) \), la derivada con respecto a \( x \) es: \[ v'(x) = \frac{\partial}{\partial x}(z) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(xy)) = 0 - \sin(xy) \cdot \frac{\partial (xy)}{\partial x} = -\sin(xy) \cdot y. \] Entonces, por la regla del producto: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1\cdot (z + \cos(xy)) + x\cdot(-y\sin(xy)). \] Simplificando, obtenemos: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = z + \cos(xy) - xy\sin(xy). \] La derivada parcial mixta es: \[ \boxed{z + \cos(xy) - xy\sin(xy)}. \]