Sea la función \( f(x, y, z)=x y z+\sin (x y)-e^{x z} \) Calcula la derivada parcial mixta \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \)

Para calcular la derivada parcial mixta \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \) de la función \( f(x, y, z) = xyz + \sin(xy) - e^{xz} \), comenzamos encontrando la primera derivada parcial con respecto a \( y \). 1. Derivamos \( f \) respecto a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = xz + x \cos(xy) - 0 = xz + x \cos(xy) \] 2. Ahora, derivamos \( \frac{\partial f}{\partial y} \) respecto a \( x \): \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(xz + x \cos(xy)\right) \] Derivando término a término: - Para el primer término \( xz \), la derivada con respecto a \( x \) es \( z \). - Para el segundo término \( x \cos(xy) \), aplicamos la regla del producto: \[ \frac{\partial}{\partial x}(x \cos(xy)) = \cos(xy) + x \frac{\partial}{\partial x}(\cos(xy)) = \cos(xy) - xy \sin(xy) \] Entonces, uniendo todo: \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = z + \cos(xy) - xy \sin(xy) \] Por lo tanto, la derivada parcial mixta es: \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = z + \cos(xy) - xy \sin(xy) \]