Identifica los siguientes puntos en el plano cartesiano y contesta lo que se de pide: $$ A(2.549 .0) \quad B(0.787 .2 .42) C(-2.063,1.498) D(-2.063,-1.498) \quad E(0.787,-2.425) $$ a) ¿Qué figura se forma? forma Un pentageno (b) Calcula el área y el perimetro de la figura. (c) Expresa la ecuación de la circunferencia circunscrita.

Question

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Consideremos los puntos

$$
\begin{array}{rl}
A & (2.549,\ 0)\[1mm]
B & (0.787,\ 2.42)\[1mm]
C & (-2.063,\ 1.498)\[1mm]
D & (-2.063,\ -1.498)\[1mm]
E & (0.787,\ -2.425)
\end{array}
$$

Suponiendo el orden de conexión $$ A\to B\to C\to D\to E\to A $$, se forma un pentágono.

---

### a) Tipo de figura

Observando que las cinco longitudes de lado (ver más adelante) son prácticamente iguales y todos los vértices están a la misma distancia (verificación posterior) del centro, se concluye que se trata de un **pentágono regular**.

---

### b) Cálculo del área y del perímetro

#### Longitudes de los lados

Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
$$
d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}.
$$

1. **Lado $$ AB $$:**  
$$
\begin{array}{rcl}
AB &=& \sqrt{(0.787-2.549)^2+(2.42-0)^2}\[1mm]
   &=& \sqrt{(-1.762)^2+(2.42)^2}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{3.105+5.8564}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.9614}\approx 2.994.
\end{array}
$$

2. **Lado $$ BC $$:**  
$$
\begin{array}{rcl}
BC &=& \sqrt{(-2.063-0.787)^2+(1.498-2.42)^2}\[1mm]
   &=& \sqrt{(-2.85)^2+(-0.922)^2}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.1225+0.850}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.9725}\approx 2.997.
\end{array}
$$

3. **Lado $$ CD $$:**  
$$
\begin{array}{rcl}
CD &=& \sqrt{(-2.063-(-2.063))^2+(-1.498-1.498)^2}\[1mm]
   &=& \sqrt{0^2+(-2.996)^2}\[1mm]
   &=& 2.996.
\end{array}
$$

4. **Lado $$ DE $$:**  
$$
\begin{array}{rcl}
DE &=& \sqrt{(0.787-(-2.063))^2+(-2.425-(-1.498))^2}\[1mm]
   &=& \sqrt{(2.85)^2+(-0.927)^2}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.1225+0.859}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.9815}\approx 2.998.
\end{array}
$$

5. **Lado $$ EA $$:**  
$$
\begin{array}{rcl}
EA &=& \sqrt{(2.549-0.787)^2+(0-(-2.425))^2}\[1mm]
   &=& \sqrt{(1.762)^2+(2.425)^2}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{3.105+5.8806}\[1mm]
   &\approx& \sqrt{8.9856}\approx 2.998.
\end{array}
$$

Cada lado es aproximadamente 3 unidades, de modo que el **perímetro** es:
$$
P\approx 5\times 3=15\text{ unidades}.
$$

#### Cálculo del área

Utilizamos la fórmula del área de un polígono (fórmula del “shoelace”):

$$
\text{Área}=\frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{n}\left( x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}\right)\right|
$$
con $$ x_{n+1}=x_1 $$ y $$ y_{n+1}=y_1 $$.

Listamos los puntos en orden cíclico:

$$
\begin{array}{cccc}
A & (2.549,0)\[1mm]
B & (0.787,2.42)\[1mm]
C & (-2.063,1.498)\[1mm]
D & (-2.063,-1.498)\[1mm]
E & (0.787,-2.425)\[1mm]
A & (2.549,0)
\end{array}
$$

Calculamos cada producto:

1. De $$ A\to B $$:  
$$
2.549\times2.42-0\times0.787\approx 6.1696.
$$

2. De $$ B\to C $$:  
$$
0.787\times1.498-2.42\times(-2.063)\approx 1.1785+4.9945=6.1730.
$$

3. De $$ C\to D $$:  
$$
(-2.063)\times(-1.498)-1.498\times(-2.063)\approx 3.090+3.090=6
**a) Forma de la figura:** Es un pentágono regular. **b) Cálculo del área y perímetro:** - **Perímetro:** Aproximadamente 15 unidades. - **Área:** Aproximadamente 15 unidades cuadradas. **c) Ecuación de la circunferencia circunscrita:** \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ donde $$ h $$ y $$ k $$ son las coordenadas del centro y $$ r $$ es el radio.

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