3 a, bet \( c \) sont des nombres rationnels non nuls. Simplifier : \( 4\left(a^{-1}\right)^{6} ; \frac{5}{3} a \times \frac{-2}{25} a^{-2} ; \frac{7}{2} a^{4} \times \frac{2}{21} a^{-2} \times\left(-3 a^{-3}\right) \) \( c^{-3} \times b\left(a c^{2}\right)^{-2} \times a^{-4} \times b^{2} \quad ; \quad(3 a)^{3} \times\left(\frac{1}{a}\right)^{-2} \times\left(\frac{a}{2}\right)^{-3} \)

Bien sûr, simplifions chaque expression une par une. ### 1. \( 4\left(a^{-1}\right)^{6} \) Appliquons la règle des puissances : \[ 4\left(a^{-1}\right)^{6} = 4 \cdot a^{-6} = \frac{4}{a^{6}} \] ### 2. \( \frac{5}{3} a \times \frac{-2}{25} a^{-2} \) Multipliant les coefficients et les puissances de \( a \) : \[ \frac{5}{3} \times \frac{-2}{25} = \frac{-10}{75} = \frac{-2}{15} \] \[ a \times a^{-2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} \] Ainsi, le produit est : \[ \frac{-2}{15} \times \frac{1}{a} = \frac{-2}{15a} \] ### 3. \( \frac{7}{2} a^{4} \times \frac{2}{21} a^{-2} \times (-3 a^{-3}) \) Multipliant les coefficients : \[ \frac{7}{2} \times \frac{2}{21} \times (-3) = \frac{14}{42} \times (-3) = \frac{1}{3} \times (-3) = -1 \] Multipliant les puissances de \( a \) : \[ a^{4} \times a^{-2} \times a^{-3} = a^{4-2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} \] Ainsi, le produit est : \[ -1 \times \frac{1}{a} = -\frac{1}{a} \] ### 4. \( c^{-3} \times b(a c^{2})^{-2} \times a^{-4} \times b^{2} \) Simplifions chaque facteur : \[ (a c^{2})^{-2} = a^{-2} c^{-4} \] Ainsi, l'expression devient : \[ c^{-3} \times b \times a^{-2} c^{-4} \times a^{-4} \times b^{2} \] Regroupons les termes semblables : \[ a^{-2} \times a^{-4} = a^{-6} \] \[ b \times b^{2} = b^{3} \] \[ c^{-3} \times c^{-4} = c^{-7} \] Donc, l'expression simplifiée est : \[ a^{-6} b^{3} c^{-7} = \frac{b^{3}}{a^{6} c^{7}} \] ### 5. \( (3 a)^{3} \times \left(\frac{1}{a}\right)^{-2} \times \left(\frac{a}{2}\right)^{-3} \) Simplifions chaque facteur : \[ (3a)^{3} = 27 a^{3} \] \[ \left(\frac{1}{a}\right)^{-2} = a^{2} \] \[ \left(\frac{a}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{a}\right)^{3} = 8 a^{-3} \] Multipliant tous les termes : \[ 27 a^{3} \times a^{2} \times 8 a^{-3} = 27 \times 8 \times a^{3+2-3} = 216 a^{2} \] **Résultat final :** \[ 216 a^{2} \]