Exercice 56 : Soit \( f \) la fonction définie par: \( f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}} \) avec \( r \) un réel strictement positif. 1. Déterminer l'ensemble de définition de \( f \). 2. Étudier la parité de \( f \). 3. Étudier la dérivabilité de \( f \) à gauche en \( r \) et interpré- ter graphiquement le résultat. 4. Étudier les variations de \( f \) sur \( [0 ; r] \). 5. Construire la courbe de \( f \) sur \( [0 ; r] \) puis sur \( [-r ; 0] \). 6. Calculer le volume du solide de révolution engen-

1. L’ensemble de définition se détermine en imposant le radicande positif ou nul. On a \[ r^2 - x^2 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 \le r^2 \quad \Longleftrightarrow \quad -r \le x \le r. \] L’ensemble de définition de \( f \) est donc \(\displaystyle [-r, r]\). 2. Pour étudier la parité de \( f \), on calcule \( f(-x) \) : \[ f(-x)=\sqrt{r^2-(-x)^2}=\sqrt{r^2-x^2}=f(x). \] Ainsi, \( f \) est une fonction paire. 3. Pour étudier la dérivabilité à gauche en \( r \), on calcule la dérivée de \( f \) pour \( x\in (-r,r) \). Écrivons \( f(x)=\sqrt{r^2-x^2} \). En dérivant, on obtient : \[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}. \] On s’intéresse au comportement en \( x \to r^- \). Pour \( x \) proche de \( r \), le numérateur tend vers \(-r\) et le dénominateur \( \sqrt{r^2-x^2} \) tend vers \( 0^+ \). On a alors : \[ f'(x) \to -\frac{r}{0^+}=-\infty. \] Ainsi, la dérivée à gauche en \( r \) existe et vaut \(-\infty\). Graphiquement, ce résultat signifie que la courbe admet une tangente verticale en \( x=r \). 4. Sur l’intervalle \([0,r]\), on étudie la monotonie en examinant \( f'(x) \). Pour \( x\in (0,r) \), le numérateur \( -x \) est négatif et le dénominateur \(\sqrt{r^2-x^2}\) est positif. Donc, \( f'(x)<0 \) sur \((0,r)\), ce qui implique que \( f \) est strictement décroissante sur \([0,r]\). Notons par ailleurs : \[ f(0)=\sqrt{r^2}=r \quad \text{et} \quad f(r)=\sqrt{r^2-r^2}=0. \] Ainsi, \( f \) décroît de \( r \) à \( 0 \) sur \([0,r]\). 5. La courbe représentative de \( f \) sur \([0,r]\) correspond à la partie du demi-cercle supérieur de l’équation \[ x^2+y^2=r^2, \] où \( y\ge 0 \). Sur \([0,r]\), la courbe relie le point \((0,r)\) au point \((r,0)\). Comme \( f \) est une fonction paire, pour \( x\in [-r,0] \) on a \( f(x)=f(-x) \). La courbe sur \([-r,0]\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées à celle sur \([0,r]\). Ainsi, en joignant ces deux parties, on obtient le demi-cercle supérieur de centre \((0,0)\) et de rayon \( r \). 6. Pour calculer le volume du solide de révolution engendré par la courbe \( f \) lorsqu’elle est tournée autour de l’axe des \( x \), on utilise la méthode des disques (ou la formule du volume par révolution). Le solide obtenu en faisant tourner la demi-courbe \( y=\sqrt{r^2-x^2} \) pour \( x\in [-r,r] \) est une sphère de rayon \( r \). On peut également effectuer le calcul suivant : \[ V=\pi\int_{-r}^{r}f(x)^2\,dx = \pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)\,dx. \] Calculons cette intégrale : \[ \begin{aligned} \int_{-r}^{r}(r^2-x^2)\,dx &= \left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} \\ &= \Bigl[\left(r^2r-\frac{r^3}{3}\right) - \Bigl(r^2(-r)-\frac{(-r)^3}{3}\Bigr)\Bigr] \\ &= \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)-\left(-r^3+\frac{r^3}{3}\right) \\ &= \left(\frac{2r^3}{3}\right)-\left(-\frac{2r^3}{3}\right)\\ &= \frac{4r^3}{3}. \end{aligned} \] D’où, \[ V=\pi\cdot\frac{4r^3}{3}=\frac{4\pi r^3}{3}. \] Le volume du solide de révolution est donc \(\frac{4\pi r^3}{3}\).