1. Determine si las siguientes series geométricas convergen o divergen. Si convergen, encuentre su suma. \( \begin{array}{l}\text { a. } 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \\ \text { h. } 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots \\ \text { c. } 10-2+\frac{2}{5}-\frac{2}{25}+\ldots \\ \text { d. } \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n} \\ \text { e. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{5^{n}}\end{array} \)

Para resolver las series geométricas dadas, es importante identificar la razón de cada serie y determinar si converge. La regla general para que una serie geométrica converja es que la razón \( r \) debe estar entre -1 y 1. Para la serie **a**: \( 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots \), la razón es \( \frac{1}{2} \) (al dividir \( 1 \) entre \( 2 \)). Esta serie converge y su suma es \( \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \). Para la serie **h**: \( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \ldots \), la razón es \( -\frac{1}{3} \), que también está entre -1 y 1. La serie converge y su suma es \( \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{4} \). Para la serie **c**: \( 10 - 2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{25} + \ldots \), la razón es \( -\frac{1}{5} \), por lo que converge. La suma es \( \frac{10}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{10}{\frac{6}{5}} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \). Para la serie **d**: \( \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{n} \) con una razón de \( \frac{3}{4} \), la serie converge y su suma es \( \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4 \). Para la serie **e**: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^{n}}{5^{n}} \) se puede separar como dos series: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} \). La primera converge y sumará \( \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4} \). La segunda serie tiene razón \( r = \frac{3}{5} \) y su suma será \( \frac{3/5}{1 - 3/5} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2} \). La suma total es \( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4} \). Entonces, las series son: - a. Converge, Suma: 4 - h. Converge, Suma: \( \frac{3}{4} \) - c. Converge, Suma: \( \frac{25}{3} \) - d. Converge, Suma: 4 - e. Converge, Suma: \( \frac{7}{4} \)