Pregunta
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1. Determine si las siguientes series geométricas convergen o divergen. Si convergen, encuentre su suma. \( \begin{array}{l}\text { a. } 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \\ \text { h. } 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots \\ \text { c. } 10-2+\frac{2}{5}-\frac{2}{25}+\ldots \\ \text { d. } \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n} \\ \text { e. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{5^{n}}\end{array} \)

Ask by Hobbs Vaughan. in Colombia
Mar 09,2025

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**a.** Converge a 4. **h.** Converge a \( \frac{3}{4} \). **c.** Converge a \( \frac{25}{3} \). **d.** Converge a 4. **e.** Converge a \( \frac{7}{4} \).

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Para resolver las series geométricas dadas, es importante identificar la razón de cada serie y determinar si converge. La regla general para que una serie geométrica converja es que la razón \( r \) debe estar entre -1 y 1. Para la serie **a**: \( 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots \), la razón es \( \frac{1}{2} \) (al dividir \( 1 \) entre \( 2 \)). Esta serie converge y su suma es \( \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \). Para la serie **h**: \( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \ldots \), la razón es \( -\frac{1}{3} \), que también está entre -1 y 1. La serie converge y su suma es \( \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{4} \). Para la serie **c**: \( 10 - 2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{25} + \ldots \), la razón es \( -\frac{1}{5} \), por lo que converge. La suma es \( \frac{10}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{10}{\frac{6}{5}} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \). Para la serie **d**: \( \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{n} \) con una razón de \( \frac{3}{4} \), la serie converge y su suma es \( \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4 \). Para la serie **e**: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^{n}}{5^{n}} \) se puede separar como dos series: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} \). La primera converge y sumará \( \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4} \). La segunda serie tiene razón \( r = \frac{3}{5} \) y su suma será \( \frac{3/5}{1 - 3/5} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2} \). La suma total es \( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4} \). Entonces, las series son: - a. Converge, Suma: 4 - h. Converge, Suma: \( \frac{3}{4} \) - c. Converge, Suma: \( \frac{25}{3} \) - d. Converge, Suma: 4 - e. Converge, Suma: \( \frac{7}{4} \)

Latest Calculus Questions

\[ y=x^{3}, \quad 0 \leq x \leq 2 \] Step 1 We are asked to find the surface area of the curve defined by \( y=x^{3} \) rotated about the \( x \)-axis over the interv \( 0 \leq x \leq 2 \). Recall the following formula for the surface area of a function of \( x \) rotated about the \( x \)-axis. Note t as the curve rotates in a circular manner about the \( x \)-axis, the expression \( 2 \pi y \) is the circumference of radius and the radical measures the arc length that is the width of a band, \[ S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \] We begin by substituting \( y=x^{3} \) and its derivative in the surface area formula and simplifying, \[ \begin{aligned} S & \left.=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+\left(\sqrt{3 x^{2}}\right.} \sqrt{3 x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9} \sqrt[9]{ } x^{4} d x \end{aligned} \] Step 2 We have found the following integral for the surface area. \[ S=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9 x^{4}} d x \] To evaluate the integral we will first make the substitution \( u=1+9 x^{4} \). We also will need the following to complete the substitution. \[ \begin{array}{l} d u=36 x^{3} \\ x=0 \rightarrow u=1 \\ x=2 \rightarrow u=\square 14 \end{array} \] Step 3 We can now make the substitution \( u=1+(9 x)^{4} \) and evaluate the definite integral with respect to \( u \). \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+(9 x)^{4}} d x & =\int_{1}^{145} 2 \pi \sqrt{u}\left(\frac{d u}{36}\right) \\ & =\frac{2 \pi}{36} \int_{1}^{145} \sqrt{u} d u \end{aligned} \] \[ =\frac{2 \pi}{36}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3}}\right]_{1}^{145} \]
Step 1 We are asked to find the surface area of the curve defined by \( y=x^{3} \) rotated about the \( x \)-axis over the interval \( 0 \leq x \leq 2 \). Recall the following formula for the surface area of a function of \( x \) rotated about the \( x \)-axis. Note that as the curve rotates in a circular manner about the \( x \)-axis, the expression \( 2 \pi y \) is the circumference of radius \( y \) and the radical measures the arc length that is the width of a band. \[ S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \] We begin by substituting \( y=x^{3} \) and its derivative in the surface area formula and simplifying. \[ \begin{aligned} S & \left.=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+\left(\sqrt{3 x^{2}}\right.} \sqrt{3 x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9}, 9^{x^{4}} d x \end{aligned} \] Step 2 We have found the following integral for the surface area. \[ S=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9 x^{4}} d x \] To evaluate the integral we will first make the substitution \( u=1+9 x^{4} \). We also will need the following to complete the substitution. \[ \begin{array}{l} d u=36 x^{3} \\ x=0 \rightarrow u=1 \\ x=2 \rightarrow u=\square 146 x^{d x} \end{array} \] Step 3 We can now make the substitution \( u=1+(9 x)^{4} \) and evaluate the definite integral with respect to \( u \). \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+(9 x)^{4}} d x & =\int_{1}^{145} 2 \pi \sqrt{u}\left(\frac{d u}{36}\right) \\ & =\frac{2 \pi}{36} \int_{1}^{145} \sqrt{u} d u \end{aligned} \] \[ =\frac{2 \pi}{36}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3}}\right]_{1}^{145} \]
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