1. Determine si las siguientes series geométricas convergen o divergen. Si convergen, encuentre su suma. $$ \begin{array}{l} ext { a. } 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \ ext { h. } 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots \ ext { c. } 10-2+\frac{2}{5}-\frac{2}{25}+\ldots \ ext { d. } \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4} ight)^{n} \ ext { e. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{5^{n}}\end{array} $$

Question

1. Determine si las siguientes series geométricas convergen o divergen. Si convergen, encuentre su suma. $$ \begin{array}{l}	ext { a. } 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots \ 	ext { h. } 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots \ 	ext { c. } 10-2+\frac{2}{5}-\frac{2}{25}+\ldots \ 	ext { d. } \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}ight)^{n} \ 	ext { e. } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{5^{n}}\end{array} $$

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**a. Serie: $$2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$$**

Determinamos el primer término y la razón:

- Primer término: $$a = 2$$
- Razón: $$\displaystyle r = \frac{1}{2}$$  
  (ya que $$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$ y $$1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$)

Como $$|r| = \frac{1}{2} < 1$$, la serie converge.  
La suma de una serie geométrica es  
$$
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4.
$$

---

**h. Serie: $$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \ldots$$**

Identificamos:

- Primer término: $$a = 1$$
- Razón: $$\displaystyle r = -\frac{1}{3}$$

Comprobamos que $$|r| = \frac{1}{3} < 1$$, por lo tanto, la serie converge.  
La suma es
$$
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}.
$$

---

**c. Serie: $$10 - 2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{25} + \ldots$$**

Determinamos la razón:
- Primer término: $$a = 10$$
- Observemos que el segundo término es $$-2$$, por lo tanto,  
$$\displaystyle r = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$$.

Verificamos que $$|r| = \frac{1}{5} < 1$$, lo que implica que la serie converge.  
La suma se obtiene por
$$
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{10}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{10}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{10}{\frac{6}{5}} = \frac{10 \cdot 5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}.
$$

---

**d. Serie: $$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n$$**

Aquí:
- Primer término: $$a = \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$$
- Razón: $$r = \frac{3}{4}$$

Dado que $$|r| = \frac{3}{4} < 1$$, la serie converge.  
La suma es
$$
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4.
$$

---

**e. Serie: $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^n}{5^n}$$**

Podemos separar la serie en dos series geométricas:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n.
$$

Para la primera serie:
- Primer término: $$a_1 = \frac{1}{5}$$
- Razón: $$r_1 = \frac{1}{5}$$
  
La suma es
$$
S_1 = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}.
$$

Para la segunda serie:
- Primer término: $$a_2 = \frac{3}{5}$$
- Razón: $$r_2 = \frac{3}{5}$$
  
La suma es 
$$
S_2 = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}.
$$

Por lo tanto, la suma total es
$$
S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4}.
$$
**a.** Converge a 4. **h.** Converge a $$ \frac{3}{4} $$. **c.** Converge a $$ \frac{25}{3} $$. **d.** Converge a 4. **e.** Converge a $$ \frac{7}{4} $$.

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