Answer
a. Las rectas son secantes y forman un ángulo de \(45^\circ\).
b. Las rectas son secantes y forman un ángulo de \( \tan^{-1}\left(\frac{19}{17}\right) \) grados.
c. Las rectas son perpendiculares y forman un ángulo de \(90^\circ\).
d. Las rectas son secantes y forman un ángulo de \( \tan^{-1}\left(\frac{10}{17}\right) \) grados.
e. Las rectas son coincidentes y forman un ángulo de \(0^\circ\).
f. Las rectas son secantes y forman un ángulo de \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \) grados.
Solution
Para determinar la relación entre cada par de rectas (paralelas, perpendiculares, coincidentes o secantes) y hallar el ángulo entre ellas, seguiremos estos pasos:
1. **Encontrar las pendientes de las rectas.**
2. **Determinar la relación entre las pendientes.**
3. **Calcular el ángulo entre las rectas si no son paralelas.**
### a. \( l_{1}: A(1 ; 2) \) y \( B(6 ; 4) \) y \( l_{2}: C(2 ; 0) \) y \( D(5 ; 7) \)
**Paso 1: Calcular las pendientes.**
La pendiente \( m \) de una recta que pasa por dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula como:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Para \( l_1 \):
- \( A(1, 2) \) y \( B(6, 4) \)
\[
m_1 = \frac{4 - 2}{6 - 1} = \frac{2}{5}
\]
Para \( l_2 \):
- \( C(2, 0) \) y \( D(5, 7) \)
\[
m_2 = \frac{7 - 0}{5 - 2} = \frac{7}{3}
\]
**Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.**
Las rectas son:
- Paralelas si \( m_1 = m_2 \)
- Perpendiculares si \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Calculamos:
\[
m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{14}{15} \neq -1
\]
Por lo tanto, las rectas son secantes.
**Paso 3: Calcular el ángulo entre las rectas.**
El ángulo \( \theta \) entre dos rectas se puede calcular usando la fórmula:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{7}{3}}{1 + \frac{14}{15}} \right|
\]
Calculamos el numerador y el denominador:
\[
\frac{2}{5} - \frac{7}{3} = \frac{6 - 35}{15} = \frac{-29}{15}
\]
\[
1 + \frac{14}{15} = \frac{15 + 14}{15} = \frac{29}{15}
\]
Por lo tanto:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{-29/15}{29/15} \right| = 1
\]
Esto implica que \( \theta = 45^\circ \).
### Resumen para a:
- Relación: Secantes
- Ángulo: \( 45^\circ \)
---
### b. \( l_{1}: A(-2 ; 4) \) y \( B(2 ; 1) \) y \( l_{2}: C(-3 ; 0) \) y \( D(2 ; 1) \)
**Paso 1: Calcular las pendientes.**
Para \( l_1 \):
\[
m_1 = \frac{1 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-3}{4}
\]
Para \( l_2 \):
\[
m_2 = \frac{1 - 0}{2 - (-3)} = \frac{1}{5}
\]
**Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.**
Calculamos:
\[
m_1 \cdot m_2 = \frac{-3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{-3}{20} \neq -1
\]
Por lo tanto, las rectas son secantes.
**Paso 3: Calcular el ángulo entre las rectas.**
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{-3}{4} - \frac{1}{5}}{1 + \frac{-3}{4} \cdot \frac{1}{5}} \right|
\]
Calculamos el numerador y el denominador:
\[
\frac{-3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{-15 - 4}{20} = \frac{-19}{20}
\]
\[
1 + \frac{-3}{20} = \frac{20 - 3}{20} = \frac{17}{20}
\]
Por lo tanto:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{-19/20}{17/20} \right| = \frac{19}{17}
\]
Calculamos \( \theta \) usando la función inversa de la tangente.
### Resumen para b:
- Relación: Secantes
- Ángulo: \( \tan^{-1}\left(\frac{19}{17}\right) \)
---
### c. \( l_{1}: 4x + 2y = 6 \) y \( l_{2}: 2x + 4y = 4 \)
**Paso 1: Encontrar las pendientes.**
Reescribimos en forma pendiente-intersección \( y = mx + b \).
Para \( l_1 \):
\[
2y = -4x + 6 \implies y = -2x + 3 \quad (m_1 = -2)
\]
Para \( l_2 \):
\[
4y = -2x + 4 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1 \quad (m_2 = -\frac{1}{2})
\]
**Paso 2: Determinar la relación entre las pendientes.**
Calculamos:
\[
m_1 \cdot m_2 = -2 \cdot -\frac{1}{2} = 1
\]
Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
### Resumen para c:
- Relación: Perpendiculares
- Ángulo: \( 90^\circ \)
---
### d. \( l_{1}: 5y - 2x - 10 = 0 \) y \( l_{2}: 2y + 5x + 8 = 0 \)
**Paso 1: Encontrar las pendientes.**
Para \( l_1 \):
\[
5y = 2x + 10 \implies y = \frac{2}{5}x
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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